Actions d'un groupe, orbites, équation aux classes

(i) La relation « $y \in G \cdot x$ » est réflexive, par $e \cdot x = x$, symétrique, car $y = g \cdot x$ entraîne $x = g^{-1} \cdot y$, et transitive, par $h \cdot (g \cdot x) = (hg) \cdot x$ : ses classes, les orbites, forment une partition.

On a $e \in G_x$, et si $g, h \in G_x$, alors $$\begin{aligned} gh^{-1} \cdot x &= g \cdot (h^{-1} \cdot (h \cdot x)) \\ &= x : \end{aligned}$$ $G_x$ est un sous-groupe (Sous-groupe, (i)).

Ensuite $g \cdot x = h \cdot x$ si et seulement si $h^{-1}g \in G_x$, c'est-à-dire $gG_x = hG_x$ (Sous-groupe distingué, (i)) : l'application est bien définie et injective, et elle est surjective par définition de l'orbite. Enfin $|G| = |G_x| \cdot |G/G_x|$ (Lagrange).

(ii) La translation $t_g : x \mapsto gx$ est bijective, de réciproque $t_{g^{-1}}$, et $t_{gh} = t_g \circ t_h$ par associativité ; $t_g = \mathrm{id}$ entraîne $g = t_g(e) = e$. L'image est un sous-groupe de $\mathfrak S(G)$ isomorphe à $G$ (Théorème d'isomorphisme). Une bijection $\beta : \{1, \dots, n\} \to G$ fournit l'isomorphisme $\sigma \mapsto \beta^{-1} \circ \sigma \circ \beta$ de $\mathfrak S(G)$ sur $\mathfrak S_n$.

(iii) Les classes de conjugaison sont les orbites de l'action par conjugaison ; une classe est réduite à $\{x\}$ si et seulement si $x$ commute à tout $g$, c'est-à-dire $x \in Z(G)$. On somme les cardinaux des orbites, donnés par (i), le stabilisateur de $x$ étant $C(x)$.

(iv) Soit $|G| = p^a$. Par (i), chaque orbite a pour cardinal un diviseur de $p^a$, donc $1$ ou un multiple de $p$ (Nombres premiers, (ii)) ; les orbites à un élément sont les points fixes, et l'on somme sur la partition en orbites. Pour la conjugaison, $X = G$ et $X^G = Z(G)$, donc $|Z(G)| \equiv |G| \equiv 0 \pmod p$ ; comme $e \in Z(G)$, $|Z(G)| \geqslant p$.