Théorème 1Groupes finis

Théorème de Lagrange

Énoncé

Si $H$ est un sous-groupe d'un groupe fini $G$ , alors $|G| = |H| \cdot |G/H|$ ; en particulier $|H|$ divise $|G|$ .

Démonstration

Les classes $xH$ forment une partition de $G$ (Sous-groupe distingué, (i)), et $h \mapsto xh$ est une bijection de $H$ sur $xH$ : $|G| = |H| \cdot |G/H|$ , sans choix, $G$ étant fini.

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Remarque

Dans ${\mathbb Z}/12\mathbb Z$ , le sous-groupe $H = \{0, 4, 8\}$ a trois éléments, et ses classes $H$ , $1 + H$ , $2 + H$ , $3 + H$ découpent les douze éléments en quatre paquets de trois.

Les douze éléments de

\mathbb Z/12\mathbb Z

sont disposés comme les heures d'un cadran. Chaque classe

k + H

, avec

H = \{0, 4, 8\}

, relie trois heures distantes de quatre, et forme un triangle équilatéral ; les quatre triangles, de quatre couleurs, n'ont deux à deux aucun sommet commun, et leurs sommets sont les douze heures, d'où

12 = 3 \times 4

La réciproque est fausse : un groupe d'ordre $n$ n'a pas toujours de sous-groupe d'ordre $d$ pour chaque diviseur $d$ de $n$ . Le groupe alterné $\mathfrak A_4$ , d'ordre $12$ , n'a pas de sous-groupe d'ordre $6$ , comme on le verra au nœud Le groupe 𝔄₄. Le théorème de Cauchy, puis ceux de Sylow, donnent des réciproques partielles, pour les diviseurs premiers et pour les plus grandes puissances de premiers.

Repose sur

Structures algébriques

Sert à

Ordre d'un élément, groupes cycliques Actions d'un groupe, orbites, équation aux classes