Le groupe alterné 𝔄₄

(i) Une bijection de $\{1, 2, 3, 4\}$ est déterminée par les images de $1, 2, 3, 4$, qui peuvent être choisies de $4$, $3$, $2$, puis $1$ manières : $|\mathfrak S_4| = 24$. La signature est surjective, une transposition ayant pour signature $-1$, et son noyau $\mathfrak A_4$ est d'indice $2$ (Théorème d'isomorphisme), donc d'ordre $12$.

Un $3$-cycle $(a\ b\ c) = (a\ c)(a\ b)$ et une double transposition sont des produits de deux transpositions, de signature $1$ ; il y a $4 \times 2 = 8$ $3$-cycles, quatre choix de l'élément fixé et deux sens de parcours, et $3$ doubles transpositions, soit avec l'identité douze éléments, qui forment donc $\mathfrak A_4$.

Soit $H$ un sous-groupe d'ordre $12$ : il est d'indice $2$, donc distingué (Sous-groupe distingué, (iv)), et le quotient $\mathfrak S_4/H$, d'ordre $2$, montre que $\sigma^2 \in H$ pour tout $\sigma$. Un $3$-cycle $c$ vérifie $c = c^4 = (c^2)^2$ : $H$ contient les huit $3$-cycles, et les trois doubles transpositions, puisque $$\begin{aligned} (1\ 2)(3\ 4) &= (1\ 2\ 3)(2\ 3\ 4), \\ (1\ 3)(2\ 4) &= (1\ 2\ 3)(1\ 2\ 4), \\ (1\ 4)(2\ 3) &= (1\ 2\ 3)(1\ 4\ 3), \end{aligned}$$ en composant de droite à gauche. Donc $H \supset \mathfrak A_4$, et $H = \mathfrak A_4$ par égalité des cardinaux.

(ii) Un sous-groupe $K$ d'ordre $6$ de $\mathfrak A_4$ aurait deux classes à gauche, puisque ces classes partagent $\mathfrak A_4$ (Sous-groupe distingué, (i)) et ont chacune six éléments, par la bijection $h \mapsto gh$ de $K$ sur $gK$ ; il serait donc distingué (même nœud, (iv)).

Le quotient $\mathfrak A_4/K$, d'ordre $2$, montrerait que $K$ contient tous les carrés ; en particulier, il contiendrait les huit $3$-cycles, puisqu'un $3$-cycle $c$ vérifie $c = (c^2)^2$, et aurait au moins neuf éléments, alors qu'il en a six.