Proposition 1Groupe symétrique et déterminant

Groupe symétrique et signature

Pour $n \geqslant 1$ , le groupe symétrique ${\mathfrak S_n}$ est l'ensemble des bijections de $\{1, \dots, n\}$ sur lui-même, muni de la composition ; c'est un groupe, d'élément neutre l'identité. Pour $a \neq b$ , la transposition $(a\ b)$ échange $a$ et $b$ et fixe les autres éléments. Pour $a, b, c$ distincts, le $3$ -cycle $(a\ b\ c)$ envoie $a$ sur $b$ , $b$ sur $c$ , $c$ sur $a$ et fixe les autres éléments ; une double transposition est un produit $(a\ b)(c\ d)$ de deux transpositions de supports disjoints, c'est-à-dire avec $\{a, b\} \cap \{c, d\} = \varnothing$ .

Soit $\sigma \in \mathfrak S_n$ et $P = \{i, j\}$ une paire, avec $i < j$ . On pose $s_\sigma(P) = 1$ si $\sigma(i) < \sigma(j)$ , c'est-à-dire si $\sigma$ respecte l'ordre de $P$ , et $s_\sigma(P) = -1$ sinon.

Ces valeurs sont prises dans le groupe à deux éléments $\{1, -1\}$ , où $(-1)^2 = 1$ . La signature de $\sigma$ est le produit $\varepsilon(\sigma) = \prod_{P} s_\sigma(P),$ étendu aux paires de $\{1, \dots, n\}$ , défini comme les sommes finies du nœud Combinaisons linéaires, puisque le groupe $\{1, -1\}$ est commutatif.

Le groupe alterné $\mathfrak A_n$ est l'ensemble des permutations de signature $1$ ; par le point (ii), c'est le noyau d'un morphisme de groupes, donc un sous-groupe distingué de $\mathfrak S_n$ .

Énoncé

(i) Toute permutation est un produit de transpositions, l'identité étant le produit vide.

(ii) $\varepsilon$ est un morphisme de groupes de $\mathfrak S_n$ dans $\{1, -1\}$ .

(iii) Toute transposition a pour signature $-1$ . Par suite, si $\sigma$ est le produit de $k$ transpositions, $\varepsilon(\sigma) = (-1)^k$ : la parité de $k$ ne dépend que de $\sigma$ .

Démonstration

(i) Par récurrence sur $n$ , le cas $n = 1$ étant trivial. Soit $\sigma \in \mathfrak S_n$ et $m = \sigma(n)$ . Si $m \neq n$ , la permutation $\tau\sigma$ , où $\tau = (m\ n)$ , fixe $n$ ; sinon on prend $\tau = \mathrm{id}$ . La restriction de $\tau\sigma$ à $\{1, \dots, n - 1\}$ est une permutation, produit de transpositions par hypothèse de récurrence, et $\sigma = \tau(\tau\sigma)$ puisque $\tau^2 = \mathrm{id}$ .

(ii) Soient $\sigma, \tau$ et $P = \{i, j\}$ avec $i < j$ . Si $\tau(i) < \tau(j)$ , $\sigma\tau$ respecte l'ordre de $P$ si et seulement si $\sigma$ respecte celui de $\tau(P)$ ; si $\tau(i) > \tau(j)$ , il le respecte si et seulement si $\sigma$ inverse celui de $\tau(P)$ . Dans les deux cas, $s_{\sigma\tau}(P) = s_\sigma(\tau(P))\, s_\tau(P).$

On fait le produit sur toutes les paires. L'application $P \mapsto \tau(P)$ est une bijection de l'ensemble des paires, et un produit fini dans un groupe commutatif ne change pas quand on réindexe ses facteurs par une bijection, par l'unicité qui le caractérise. Donc $\prod_P s_\sigma(\tau(P)) = \varepsilon(\sigma)$ , et $\varepsilon(\sigma\tau) = \varepsilon(\sigma)\varepsilon(\tau).$

(iii) Soit $\tau = (a\ b)$ avec $a < b$ . Les paires dont $\tau$ inverse l'ordre sont $\{a, b\}$ , et, pour chaque $k$ tel que $a < k < b$ , les deux paires $\{a, k\}$ et $\{k, b\}$ ; toutes les autres sont respectées. Il y a donc $2(b - a - 1) + 1$ facteurs égaux à $-1$ , nombre impair, et $\varepsilon(\tau) = -1$ . La dernière assertion découle de (ii).

□

Remarque

Dans $\mathfrak S_3$ , l'identité et les deux permutations circulaires $1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto 1$ et $1 \mapsto 3 \mapsto 2 \mapsto 1$ ont pour signature $1$ , et les trois transpositions ont pour signature $-1$ . Une permutation circulaire de trois éléments est en effet le produit de deux transpositions, par exemple $(1\ 2\ 3) = (1\ 3)(1\ 2)$ .

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que la décomposition en transpositions est unique. Elle ne l'est pas, même en nombre de facteurs : $\mathrm{id} = (1\ 2)(1\ 2)$ s'écrit avec zéro ou deux transpositions. Seule la parité du nombre de facteurs est déterminée, et c'est exactement ce que mesure la signature.

Repose sur

Sommes finies et combinaisons linéaires

Sert à

Formes multilinéaires alternées