Théorème 1Algèbre linéaire

Sommes finies et combinaisons linéaires

Une famille $(\lambda_i)_{i \in I}$ de scalaires est à support fini si $\{i : \lambda_i \neq 0\}$ est un ensemble fini. Pour une telle famille et une famille $(x_i)_{i \in I}$ de vecteurs, la combinaison linéaire $\sum_{i \in I} \lambda_i x_i$ est la somme, définie ci-dessous, des $\lambda_i x_i$ pour $i$ dans le support.

Énoncé

(i) Sommes finies. Soit $(G, +)$ un groupe abélien, $I$ un ensemble fini et $(x_i)_{i \in I}$ une famille de $G$ . Il existe une unique application $S : {\mathcal P}(I) \to G$ telle que $S(\varnothing) = 0$ et $S(A \cup \{i\}) = S(A) + x_i$ pour $A \subset I$ et $i \in I \setminus A$ . On note $\sum_{i \in A} x_i = S(A)$ ; cette somme ne dépend d'aucun ordre sur $I$ .

(ii) $\sum_i (x_i + y_i) = \sum_i x_i + \sum_i y_i$ et, dans un espace vectoriel, $\lambda \sum_i x_i = \sum_i \lambda x_i$ .

(iii) $\operatorname{Vect}(S)$ est l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de $S$ .

Démonstration

(i) C'est le nœud Sommes finies, appliqué au groupe abélien $(G, +)$ .

(ii) L'application $A \mapsto \sum_{A} x_i + \sum_{A} y_i$ vérifie la relation qui caractérise $A \mapsto \sum_A (x_i + y_i)$ ; par unicité, elles sont égales. De même pour $A \mapsto \lambda \sum_A x_i$ .

(iii) Par (ii), l'ensemble $C$ des combinaisons linéaires est un sous-espace ; il contient chaque $s \in S$ , qui s'écrit $1 \cdot s$ . Réciproquement, tout sous-espace contenant $S$ contient chaque $\sum_A \lambda_i s_i$ , par récurrence sur $|A|$ . Donc $C = \operatorname{Vect}(S)$ , qui est par définition l'intersection des sous-espaces contenant $S$ (Espace vectoriel).

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Remarque

Une combinaison linéaire ne comporte qu'un nombre fini de termes, même si la famille est infinie : l'algèbre linéaire ne connaît pas de somme infinie. Celles-ci demandent une notion de limite, qui relève de la topologie ; c'est l'objet de l'analyse fonctionnelle.

Repose sur

Espaces vectoriels et sous-espaces Les entiers naturels

Sert à

Familles libres, génératrices, bases Groupe symétrique et déterminant