Proposition 3Algèbre linéaire

Familles libres, génératrices, bases

Une famille $(e_i)_{i \in I}$ de $E$ est libre si toute combinaison linéaire nulle $\sum_i \lambda_i e_i = 0$ a tous ses coefficients nuls ; génératrice si $\operatorname{Vect}\{e_i : i \in I\} = E$ ; c'est une base si elle est libre et génératrice.

Pour $n \geqslant 1$ , la base canonique de ${K^n}$ est la famille $(e_1, \dots, e_n)$ , où $e_j$ a sa $j$ -ième coordonnée égale à $1$ et toutes les autres nulles. C'est une base : tout $x = (x_1, \dots, x_n)$ s'écrit $x = \sum_j x_je_j$ , et de façon unique, puisque la $j$ -ième coordonnée de $\sum_j \lambda_je_j$ est $\lambda_j$ .

Énoncé

(i) $(e_i)$ est une base si et seulement si tout $x \in E$ s'écrit de manière unique $x = \sum_i \lambda_i e_i$ , avec $(\lambda_i)$ à support fini ; les $\lambda_i$ sont les coordonnées de $x$ .

(ii) Propriété universelle. Si $(e_i)_{i \in I}$ est une base de $E$ et $(y_i)_{i \in I}$ une famille de $F$ , il existe une unique application linéaire $u : E \to F$ telle que $u(e_i) = y_i$ pour tout $i$ .

(iii) Avec ces notations, $u$ est injective si et seulement si $(y_i)$ est libre, surjective si et seulement si $(y_i)$ est génératrice. En particulier, $E$ a une base indexée par $I$ si et seulement si $E$ est isomorphe à $K^{(I)}$ .

(iv) Si $L$ est une partie libre et $x \notin \operatorname{Vect}(L)$ , alors $L \cup \{x\}$ est libre.

Démonstration

(i) L'existence de l'écriture est le caractère générateur (Combinaisons linéaires). Deux écritures différentes donnent, par différence, une combinaison nulle à coefficients non tous nuls, et réciproquement.

(ii) On pose $u\big(\sum_i \lambda_i e_i\big) = \sum_i \lambda_i y_i$ , ce qui a un sens par (i) ; $u$ est linéaire par unicité des coordonnées. Toute application linéaire qui convient prend cette valeur (Applications linéaires).

(iii) $u\big(\sum_i \lambda_i e_i\big) = 0$ équivaut à $\sum_i \lambda_i y_i = 0$ : l'injectivité est la liberté des $y_i$ . L'image de $u$ est l'ensemble des combinaisons des $y_i$ . Enfin, les fonctions indicatrices $\delta_i$ des singletons forment une base de $K^{(I)}$ , puisque tout $f \in K^{(I)}$ s'écrit de façon unique $\sum_{i} f(i)\,\delta_i$ , somme sur le support. Si $(e_i)$ est une base, l'application qui envoie $\delta_i$ sur $e_i$ est un isomorphisme, par ce qui précède. Réciproquement, un isomorphisme $v : K^{(I)} \to E$ envoie la base $(\delta_i)$ sur une base $(v(\delta_i))_{i \in I}$ de $E$ .

(iv) Dans une relation $\lambda x + \sum_m \mu_m m = 0$ , avec $m \in L$ , on a $\lambda = 0$ , sinon $x = -\lambda^{-1}\sum_m \mu_m m \in \operatorname{Vect}(L)$ ; puis tous les $\mu_m$ sont nuls, $L$ étant libre.

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Remarque

Une application linéaire est donc entièrement déterminée par les images des vecteurs d'une base, qu'on peut choisir librement. C'est ce qui permettra de la représenter par une matrice (Matrices).

Repose sur

Sommes finies et combinaisons linéaires Applications linéaires

Sert à

Tout espace vectoriel a une base Lemme d'échange de Steinitz