Tout espace vectoriel a une base ⋆

(i) Soit $L$ une partie libre. L'ensemble $\mathcal E$ des parties libres contenant $L$, ordonné par inclusion, est non vide.

Il est inductif. La chaîne vide est majorée par $L$. Si $\mathcal C$ est une chaîne non vide de $\mathcal E$, la réunion $U$ de ses éléments contient $L$, et elle est libre : une combinaison linéaire nulle ne fait intervenir qu'un nombre fini de vecteurs $u_1, \dots, u_k$ de $U$. Chaque $u_j$ appartient à un élément $C_j$ de la chaîne, et le plus grand des $C_j$, qui existe puisqu'ils sont en nombre fini et deux à deux comparables, les contient tous ; comme il est libre, la combinaison est triviale.

Le lemme de Zorn (Lemme de Zorn) fournit une partie libre maximale $M$.

$M$ est génératrice : si $x \notin \operatorname{Vect}(M)$, alors $M \cup \{x\}$ est libre (Familles libres, bases, point (iv)), ce qui contredit la maximalité. Pour $L = \varnothing$, on obtient une base de $E$.

(ii) Soit $B_F$ une base de $F$, complétée en une base $B$ de $E$ par (i). Le sous-espace $G$ engendré par $B \setminus B_F$ vérifie $F + G = E$, et $F \cap G = \{0\}$ par unicité des coordonnées dans la base $B$ (Familles libres, bases) ; la somme est donc directe (Sommes directes, (i)), et $E = F \oplus G$.