Proposition 2Algèbre linéaire

Sommes directes, supplémentaires, projecteurs

Pour deux sous-espaces $F$ et $G$ de $E$ , la somme $F + G = \{f + g : f \in F,\ g \in G\}$ est un sous-espace. Elle est directe, notée $F \oplus G$ , si tout élément de $F + G$ s'écrit de manière unique $f + g$ . Deux sous-espaces sont supplémentaires si $E = F \oplus G$ .

Énoncé

(i) La somme $F + G$ est directe si et seulement si $F \cap G = \{0\}$ .

(ii) Si $E = F \oplus G$ , l'application $p$ qui à $x = f + g$ associe $f$ est linéaire, et vérifie $p \circ p = p$ , $\operatorname{Im} p = F$ , $\operatorname{Ker} p = G$ : c'est le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ .

(iii) Réciproquement, si $p \in {\mathcal L}(E, E)$ vérifie $p \circ p = p$ , alors $E = \operatorname{Im} p \oplus \operatorname{Ker} p$ .

Démonstration

(i) Si $f + g = f' + g'$ , alors $f - f' = g' - g \in F \cap G$ . Si cette intersection est nulle, $f = f'$ et $g = g'$ . Réciproquement, si $x \in F \cap G$ , alors $x + 0 = 0 + x$ donne deux écritures, égales seulement si $x = 0$ .

(ii) L'unicité de l'écriture donne la linéarité : $x + x' = (f + f') + (g + g')$ , et de même pour $\lambda x$ . Pour $f \in F$ , $p(f) = f$ , d'où $p \circ p = p$ et $\operatorname{Im} p = F$ ; $p(x) = 0$ équivaut à $x \in G$ .

(iii) Tout $x$ s'écrit $p(x) + (x - p(x))$ , avec $p(x - p(x)) = p(x) - p(p(x)) = 0$ . Si $x \in \operatorname{Im} p \cap \operatorname{Ker} p$ , alors $x = p(y)$ et $0 = p(x) = p(p(y)) = p(y) = x$ .

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Remarque

L'erreur la plus répandue est de confondre supplémentaire et complémentaire : $F \cup G$ n'est jamais un sous-espace si $F$ et $G$ sont deux droites distinctes, et un sous-espace a en général une infinité de supplémentaires. Dans ${K^2}$ , avec $K$ infini, les droites engendrées par $(1, t)$ , pour $t \in K$ , sont toutes supplémentaires de la droite engendrée par $(0, 1)$ .

Le dessin est fait dans le plan réel, que l'arbre ne construit que plus loin. La droite

F

engendrée par

(0, 1)

y a pour supplémentaires toutes les droites engendrées par

(1, t)

; on en a tracé deux,

G

pour

t = \frac12

G'

pour

t = -\frac14

. Le même vecteur

x = (2, \frac32)

se décompose différemment selon le supplémentaire choisi : son projeté sur

F

vaut

p(x) = (0, \frac12)

parallèlement à

G

, et

p'(x) = (0, 2)

parallèlement à

G'

Repose sur

Applications linéaires

Sert à

Espace quotient et théorème d'isomorphisme Tout espace vectoriel a une base