Théorème 2Algèbre linéaire

Espace quotient et théorème d'isomorphisme

Énoncé

(i) Si $F$ est un sous-espace de $E$ , le quotient $E/F$ est un espace vectoriel et la surjection canonique $\pi : E \to E/F$ est linéaire, de noyau $F$ .

(ii) Toute application linéaire $u : E \to E'$ induit un isomorphisme $E/\operatorname{Ker} u \cong \operatorname{Im} u$ .

(iii) Si $G$ est un supplémentaire de $F$ , la restriction de $\pi$ à $G$ est un isomorphisme de $G$ sur $E/F$ .

Démonstration

(i) C'est le quotient d'un module par un sous-module (Module).

(ii) Le théorème d'isomorphisme des groupes fournit un isomorphisme de groupes $\bar u : E/\operatorname{Ker} u \to \operatorname{Im} u$ avec $\bar u(\pi(x)) = u(x)$ (Théorème d'isomorphisme) ; il respecte la loi externe, puisque $\bar u(\lambda \pi(x)) = \bar u(\pi(\lambda x)) = \lambda u(x)$ .

$\begin{CD} E @>{u}>> E' \\ @V{\pi}VV @AAA \\ E/\operatorname{Ker} u @>{\bar u}>> \operatorname{Im} u \end{CD}$ Le diagramme est commutatif : $u$ se factorise en la surjection canonique $\pi$ , suivie de l'isomorphisme $\bar u$ , puis de l'inclusion de $\operatorname{Im} u$ dans $E'$ .

(iii) $\pi|_G$ est linéaire, de noyau $G \cap F$ , nul puisque la somme $F + G$ est directe (Sommes directes, (i)) : elle est donc injective. Tout $x \in E$ s'écrit $f + g$ , et $\pi(x) = \pi(g)$ : elle est surjective.

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Remarque

Le point (iii) dit que tous les supplémentaires de $F$ sont isomorphes entre eux, puisqu'ils le sont tous à $E/F$ . Le quotient en est le représentant canonique, qui ne demande aucun choix.

Le dessin est fait dans le plan réel, que l'arbre ne construit que plus loin. Pour

F

la droite engendrée par

(2, 1)

, les éléments de

E/F

sont les droites parallèles à

F

. Chaque supplémentaire, ici

G

engendré par

(0, 1)

G'

engendré par

(1, -1)

, coupe chacune d'elles en exactement un point : c'est l'isomorphisme

\pi|_G

du point (iii), et les deux supplémentaires fournissent deux représentants différents de la même classe

\pi(x)

Repose sur

Applications linéaires Sommes directes, supplémentaires, projecteurs

Sert à

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