Proposition 1Algèbre linéaire

Applications linéaires

Une application linéaire $u : E \to F$ entre espaces vectoriels vérifie $u(x + y) = u(x) + u(y)$ et $u(\lambda x) = \lambda u(x)$ . On note ${\mathcal L}(E, F)$ leur ensemble, $\operatorname{Ker} u = u^{-1}(\{0\})$ et $\operatorname{Im} u = u(E)$ . Une application linéaire de $E$ dans lui-même est un endomorphisme de $E$ , et l'on note $\mathcal L(E) = \mathcal L(E, E)$ l'ensemble des endomorphismes de $E$ . On parle de même d'endomorphisme d'un groupe, d'un anneau ou d'un module : c'est un morphisme de groupes ou d'anneaux, ou une application $A$ -linéaire, de cet objet dans lui-même.

Une application $f : E \to F$ est affine s'il existe $u \in \mathcal L(E, F)$ et $c \in F$ tels que $f(x) = u(x) + c$ pour tout $x \in E$ ; alors $c = f(0)$ et $u(x) = f(x) - f(0)$ , de sorte que $u$ et $c$ sont déterminés par $f$ .

Énoncé

(i) $\operatorname{Ker} u$ et $\operatorname{Im} u$ sont des sous-espaces ; $u$ est injective si et seulement si $\operatorname{Ker} u = \{0\}$ .

(ii) La composée de deux applications linéaires est linéaire, et la réciproque d'une application linéaire bijective (un isomorphisme) est linéaire.

(iii) $\mathcal L(E, F)$ est un sous-espace de $F^E$ , et $u\big(\sum_i \lambda_i x_i\big) = \sum_i \lambda_i u(x_i)$ pour toute famille finie de scalaires $\lambda_i$ et de vecteurs $x_i$ .

Démonstration

(i) Une application linéaire est un morphisme de groupes ; l'image directe et l'image réciproque d'un sous-groupe sont des sous-groupes, et l'injectivité équivaut à $\operatorname{Ker} u = \{0\}$ (Morphisme). La stabilité par la loi externe vient de $u(\lambda x) = \lambda u(x)$ .

(ii) La composée respecte les deux opérations. Si $u$ est bijective, $u^{-1}$ est additive (Morphisme), et $u(\lambda u^{-1}(y)) = \lambda y$ donne $u^{-1}(\lambda y) = \lambda u^{-1}(y)$ .

(iii) Une somme et un multiple d'applications linéaires sont linéaires, puisque $K$ est commutatif : $(\lambda u)(\mu x) = \lambda\mu\, u(x) = \mu (\lambda u)(x)$ . La formule pour les combinaisons s'obtient par récurrence sur le nombre de termes.

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Remarque

La commutativité de $K$ sert dans (iii) : sur un anneau à division non commutatif, $x \mapsto \lambda x$ n'est pas linéaire en général, et $\mathcal L(E, F)$ n'est plus un espace vectoriel sur le même corps.

Repose sur

Espaces vectoriels et sous-espaces

Sert à

Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Espace quotient et théorème d'isomorphisme Familles libres, génératrices, bases