Définition 1Algèbre linéaire

Espaces vectoriels et sous-espaces

Énoncé

Un espace vectoriel sur le corps $K$ est un $K$ -module (Module) : un groupe abélien $(E, +)$ muni d'une multiplication externe $K \times E \to E$ telle que $\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y$ , $(\lambda + \mu)x = \lambda x + \mu x$ , $(\lambda\mu)x = \lambda(\mu x)$ et $1x = x$ . Ses éléments sont appelés vecteurs, ceux de $K$ scalaires.

Un sous-espace vectoriel est une partie non vide stable par addition et par multiplication externe. L'intersection d'un ensemble non vide de sous-espaces en est un ; le sous-espace engendré $\operatorname{Vect}(S)$ par une partie $S$ est l'intersection des sous-espaces qui la contiennent.

Démonstration

Un sous-espace $F$ contient $0 = 0 \cdot x$ pour un $x \in F$ , et $-x = (-1)x$ : c'est un sous-groupe, stable par la loi externe, donc un sous-module. La stabilité passe à l'intersection, et l'ensemble des sous-espaces contenant $S$ , obtenu par séparation dans ${\mathcal P}(E)$ , contient $E$ .

□

Remarque

Exemples fondamentaux : $K$ lui-même ; l'espace $K^I$ des applications d'un ensemble $I$ dans $K$ , avec les opérations point par point ; son sous-espace $K^{(I)}$ formé des applications nulles hors d'une partie finie de $I$ , qui est bien un sous-espace, puisque $x + y$ est nulle hors de la réunion des parties finies hors desquelles $x$ et $y$ sont nulles, finie par le point (iv) du nœud Ensembles finis. Pour $I = n$ , les deux coïncident et l'on note ${K^n}$ .

Remarque

Les égalités $0x = 0$ et $\lambda 0 = 0$ se démontrent comme dans un anneau (Anneau). De plus, $\lambda x = 0$ entraîne $\lambda = 0$ ou $x = 0$ , puisque $\lambda \neq 0$ est inversible : c'est ici que sert l'hypothèse que $K$ est un corps.

Repose sur

Structures algébriques

Sert à

Sommes finies et combinaisons linéaires Applications linéaires