Théorème 1Groupe symétrique et déterminant

Formes multilinéaires alternées

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n \geqslant 1$ , au sens du nœud Dimension. Une forme $n$ -linéaire $f : E^n \to K$ est linéaire par rapport à chacune de ses variables, les autres étant fixées. Elle est alternée si $f(x_1, \dots, x_n) = 0$ dès que deux des $x_k$ sont égaux.

Pour une base $\mathcal B = (e_1, \dots, e_n)$ , on note $x_{ij}$ la $i$ -ième coordonnée de $x_j$ dans $\mathcal B$ , et l'on pose $\det\nolimits_{\mathcal B}(x_1, \dots, x_n) = \sum_{\sigma \in {\mathfrak S_n}} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n x_{\sigma(j)\, j},$ où $\varepsilon(\sigma)$ est vu dans $K$ , par $1 \mapsto 1$ et $-1 \mapsto -1$ .

Énoncé

(i) Si $f$ est $n$ -linéaire alternée, alors $f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma) f(x_1, \dots, x_n)$ pour toute $\sigma \in \mathfrak S_n$ , et $f(x_1, \dots, x_n) = 0$ dès que la famille $(x_1, \dots, x_n)$ est liée.

(ii) $\det_{\mathcal B}$ est une forme $n$ -linéaire alternée, qui vaut $1$ en $(e_1, \dots, e_n)$ .

(iii) Toute forme $n$ -linéaire alternée $f$ vérifie $f = f(e_1, \dots, e_n)\, \det_{\mathcal B}$ . L'espace des formes $n$ -linéaires alternées sur $E$ est donc de dimension $1$ , de base $\det_{\mathcal B}$ .

Démonstration

(i) En développant $f(\dots, x + y, \dots, x + y, \dots) = 0$ par linéarité dans les deux places concernées, on obtient $f(\dots, x, \dots, y, \dots) = -f(\dots, y, \dots, x, \dots)$ : la formule vaut pour une transposition.

Si elle vaut pour $\sigma$ et si $\tau$ est une transposition, posons $y_k = x_{\sigma(k)}$ ; alors $x_{\sigma\tau(k)} = y_{\tau(k)}$ , et $\begin{aligned} &f(x_{\sigma\tau(1)}, \dots, x_{\sigma\tau(n)}) \\ &\quad = -f(y_1, \dots, y_n) \\ &\quad = -\varepsilon(\sigma) f(x_1, \dots, x_n) \\ &\quad = \varepsilon(\sigma\tau) f(x_1, \dots, x_n). \end{aligned}$ On conclut par Permutations, signature, (i).

Si la famille est liée, l'un des vecteurs, disons $x_k$ , est combinaison linéaire des autres ; en développant par linéarité dans la place $k$ , chaque terme contient deux fois le même vecteur et s'annule.

(ii) Chaque produit $\prod_j x_{\sigma(j)\, j}$ contient exactement un facteur issu de chaque $x_j$ , et les coordonnées sont linéaires : $\det_{\mathcal B}$ est $n$ -linéaire.

Supposons $x_k = x_l$ avec $k < l$ , et soit $\tau = (k\ l)$ . Pour toute $\sigma$ , les produits associés à $\sigma$ et à $\sigma\tau$ sont égaux, puisque $x_{\sigma\tau(k)\, k} = x_{\sigma(l)\, l}$ et $x_{\sigma\tau(l)\, l} = x_{\sigma(k)\, k}$ , tandis que $\varepsilon(\sigma\tau) = -\varepsilon(\sigma)$ .

L'application $\sigma \mapsto \sigma\tau$ est une bijection du noyau de $\varepsilon$ sur son complémentaire ; en regroupant ainsi les termes deux à deux, la somme est nulle.

Enfin, pour $x_j = e_j$ , le produit $\prod_j x_{\sigma(j)\, j}$ est nul sauf si $\sigma(j) = j$ pour tout $j$ : seule l'identité contribue, pour $1$ .

(iii) Écrivons $x_j = \sum_i x_{ij} e_i$ et développons par multilinéarité : $\begin{aligned} f(x_1, \dots, x_n) &= \sum_{\varphi} \Big(\prod_j x_{\varphi(j)\, j}\Big) \\ &\qquad f(e_{\varphi(1)}, \dots, e_{\varphi(n)}), \end{aligned}$ la somme portant sur les applications $\varphi$ de $\{1, \dots, n\}$ dans lui-même. Si $\varphi$ n'est pas injective, deux arguments sont égaux et le terme est nul.

Une injection d'un ensemble fini dans lui-même est une bijection (Ensembles finis, (iii)) ; par (i), $f(e_{\sigma(1)}, \dots, e_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma) f(e_1, \dots, e_n)$ , d'où $f = f(e_1, \dots, e_n) \det_{\mathcal B}$ . Par (ii), $\det_{\mathcal B}$ n'est pas nulle, et elle engendre l'espace des formes alternées.

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Remarque

En caractéristique $2$ , où $-1 = 1$ dans $K$ , l'antisymétrie $f(\dots, x, \dots, y, \dots) = -f(\dots, y, \dots, x, \dots)$ n'entraîne pas que $f$ s'annule quand deux arguments sont égaux. C'est pourquoi la définition porte sur cette annulation, plus forte, et non sur l'antisymétrie : avec elle, la théorie vaut sur tout corps.

Remarque

Pour $n = 2$ , $\det_{\mathcal B}(x, y) = x_1y_2 - x_2y_1$ : les deux permutations de $\mathfrak S_2$ donnent les deux termes. Pour $n = 3$ , les six permutations donnent la règle de Sarrus, qui ne se généralise pas : en dimension $4$ , la somme compte $24$ termes, et non $8$ .

Repose sur

Groupe symétrique et signature Dimension d'un espace vectoriel

Sert à

Déterminant d'un endomorphisme