Théorème 2Groupe symétrique et déterminant

Déterminant d'un endomorphisme

Soit $E$ de dimension $n \geqslant 1$ et $u \in {\mathcal L}(E)$ . Si $f$ est une forme $n$ -linéaire alternée, $(x_1, \dots, x_n) \mapsto f(u(x_1), \dots, u(x_n))$ en est une autre. Le déterminant $\det u$ est le scalaire tel que $\begin{aligned} &f(u(x_1), \dots, u(x_n)) \\ &\quad = \det u \cdot f(x_1, \dots, x_n) \end{aligned}$ pour toute forme $f$ et tous $x_1, \dots, x_n$ .

Énoncé

(i) $\det u$ existe et est unique ; $\det(v \circ u) = \det v \cdot \det u$ et $\det \mathrm{id} = 1$ .

(ii) $u$ est bijectif si et seulement si $\det u \neq 0$ , et alors $\det(u^{-1}) = (\det u)^{-1}$ .

Démonstration

(i) L'application $f \mapsto f(u(\cdot), \dots, u(\cdot))$ est un endomorphisme de l'espace des formes alternées, qui est de dimension $1$ (Formes alternées, (iii)) ; un tel endomorphisme est la multiplication par un unique scalaire, car il envoie la base $\det_{\mathcal B}$ sur un multiple $\lambda \det_{\mathcal B}$ .

Ensuite $\begin{aligned} f(vu(x_1), \dots) &= \det v \cdot f(u(x_1), \dots) \\ &= \det v \cdot \det u \cdot f(x_1, \dots), \end{aligned}$ et l'identité donne $1$ .

(ii) Si $u$ est bijectif, $\det u \cdot \det u^{-1} = \det \mathrm{id} = 1$ . Sinon, $u$ n'est pas surjectif (Théorème du rang), et la famille $(u(e_1), \dots, u(e_n))$ est liée, car une famille libre de $n$ vecteurs serait une base (Dimension, (ii)) ; donc $\begin{aligned} \det u &= \det u \cdot \det\nolimits_{\mathcal B}(e_1, \dots, e_n) \\ &= \det\nolimits_{\mathcal B}(u(e_1), \dots, u(e_n)) = 0. \end{aligned}$

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Remarque

La définition ne fait intervenir aucune base : $\det u$ est le facteur par lequel $u$ multiplie toutes les formes $n$ -linéaires alternées à la fois. C'est ce qui rend évidente la multiplicativité, et ce qui fera, au nœud suivant, que le déterminant de la matrice de $u$ ne dépend pas de la base choisie.

Repose sur

Formes multilinéaires alternées Théorème du rang

Sert à

Déterminant d'une matrice carrée