Théorème 5Algèbre linéaire

Théorème du rang

Énoncé

Soit $E$ de dimension finie et $u \in {\mathcal L}(E, F)$ . Alors $\operatorname{Im} u$ est de dimension finie, appelée le rang de $u$ , et $\dim E = \dim \operatorname{Ker} u + \operatorname{rg} u.$ En particulier, si $\dim E = \dim F$ est finie, $u$ est injective si et seulement si elle est surjective. Pour deux sous-espaces $F$ et $G$ d'un espace de dimension finie, $\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G)$ .

Démonstration

Soit $(e_1, \dots, e_k)$ une base de $\operatorname{Ker} u$ , complétée en une base $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$ (Dimension). Les vecteurs $u(e_{k+1}), \dots, u(e_n)$ engendrent $\operatorname{Im} u$ , puisque $u(e_i) = 0$ pour $i \leqslant k$ .

Ils sont libres : si $\sum_{j > k} \lambda_j u(e_j) = 0$ , alors $\sum_{j > k} \lambda_j e_j \in \operatorname{Ker} u$ s'écrit $\sum_{i \leqslant k} \mu_i e_i$ , et la liberté de la base donne $\lambda_j = 0$ . Donc $\operatorname{rg} u = n - k$ .

Les

k

vecteurs de la base du noyau sont envoyés sur

0

, et les images des

n - k

vecteurs qui la complètent forment une base de

\operatorname{Im} u

. Les deux accolades donnent

\dim E = k + (n - k) = \dim \operatorname{Ker} u + \operatorname{rg} u

Si $\dim E = \dim F$ , l'injectivité équivaut à $\operatorname{Ker} u = \{0\}$ , donc à $\operatorname{rg} u = \dim F$ , donc à $\operatorname{Im} u = F$ (Dimension).

Pour la formule de Grassmann, on applique le théorème à $s : F \times G \to E$ , $(f, g) \mapsto f + g$ . Son image est $F + G$ , son noyau $\{(x, -x) : x \in F \cap G\}$ est isomorphe à $F \cap G$ , et $\dim(F \times G) = \dim F + \dim G$ , une base étant formée des $(f_i, 0)$ et des $(0, g_j)$ .

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Remarque

En dimension infinie, l'équivalence entre injectivité et surjectivité tombe. Sur $K^{({\mathbb N})}$ , le décalage $(x_0, x_1, \dots) \mapsto (0, x_0, x_1, \dots)$ est injectif sans être surjectif.

Repose sur

Dimension d'un espace vectoriel

Sert à

Espace dual Groupe symétrique et déterminant