Proposition 5Algèbre linéaire

Espace dual

L'espace dual de $E$ est ${E^*} = {\mathcal L}(E, K)$ ; ses éléments sont les formes linéaires.

Énoncé

Soit $E$ de dimension finie $n$ et $(e_1, \dots, e_n)$ une base.

(i) Les formes $e_1^*, \dots, e_n^*$ définies par $e_i^*(e_j) = 1$ si $i = j$ et $0$ sinon forment une base de $E^*$ , la base duale ; en particulier $\dim E^* = n$ .

(ii) L'application $E \to E^{**}$ qui envoie $x$ sur l'évaluation $\varphi \mapsto \varphi(x)$ est un isomorphisme, qui ne dépend d'aucun choix de base.

Démonstration

(i) Les $e_i^*$ existent par la propriété universelle (Familles libres, bases). Si $\sum_i \lambda_i e_i^* = 0$ , on applique à $e_j$ : $\lambda_j = 0$ . Toute forme $\varphi$ coïncide avec $\sum_i \varphi(e_i) e_i^*$ sur la base, donc lui est égale.

(ii) L'application est linéaire. Si $x \neq 0$ , on complète $x$ en une base (Dimension) ; la première forme de la base duale vaut $1$ en $x$ , donc l'évaluation en $x$ n'est pas nulle : l'application est injective. Comme $\dim E^{**} = \dim E^* = \dim E$ , elle est bijective par le théorème du rang (Théorème du rang).

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Remarque

L'isomorphisme $E \cong E^*$ fourni par une base dépend de la base ; celui de $E$ sur $E^{**}$ n'en dépend pas. C'est l'exemple qui a conduit Eilenberg et Mac Lane, en 1945, à préciser la notion d'isomorphisme « naturel ».

Le dessin est fait dans le plan réel, que l'arbre ne construit que plus loin. Les lignes de niveau de la forme

e_1^*

sont parallèles à

e_2

: remplacer

e_2

par

e_2' = e_1 + e_2

sans toucher à

e_1

change la forme

e_1^*

, qui vaut alors

-1

e_2

. L'isomorphisme

e_i \mapsto e_i^*

envoie donc le même vecteur

e_1

sur deux formes différentes selon la base qui le contient.

Remarque

En dimension infinie, $E^*$ est strictement plus gros que $E$ : le dual de $K^{({\mathbb N})}$ est isomorphe à ${K^{\mathbb N}}$ , dont la dimension est strictement plus grande que celle de $K^{(\mathbb N)}$ (théorème d'Erdős-Kaplansky). L'analyse fonctionnelle remplace pour cette raison le dual algébrique par le dual topologique.

Repose sur

Théorème du rang

Sert à

Formes alternées de degré quelconque, produit extérieur