Formes alternées de degré quelconque, produit extérieur

(i) Écrivons $x_b = \sum_i x_{ib} e_i$ et développons $\alpha(x_1, \dots, x_k)$ par multilinéarité, comme au nœud Formes alternées, (iii). La preuve du point (i) de ce nœud, qui n'utilise pas $k = n$, donne $\alpha(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(k)}) = \varepsilon(\sigma)\alpha(x_1, \dots, x_k)$ pour $\sigma \in {\mathfrak S_k}$. La somme porte sur les applications $\varphi : \{1, \dots, k\} \to \{1, \dots, n\}$, et les termes où $\varphi$ n'est pas injective sont nuls.

Une injection s'écrit de façon unique $\varphi(b) = i_{\sigma(b)}$, où $I$ est l'image rangée par ordre croissant et $\sigma \in \mathfrak S_k$ ; alors $\alpha(e_{\varphi(1)}, \dots) = \varepsilon(\sigma)\alpha(e_I)$. En regroupant selon $I$, on obtient $$\alpha(x) = \sum_I \alpha(e_I) \sum_\sigma \varepsilon(\sigma)\prod_b x_{i_{\sigma(b)}\, b},$$ et la somme intérieure est le déterminant qui définit $e_I^*(x)$ (Déterminant d'une matrice).

Les $e_I^*$ sont alternées, le déterminant l'étant par rapport à ses colonnes, et $e_I^*(e_J)$ vaut $1$ si $I = J$, $0$ sinon, puisque la matrice a alors une ligne nulle : la famille est libre.

(ii) Construction. Pour $I$ et $J$ disjoints, soit $\varepsilon(I, J)$ la signature de la permutation qui range par ordre croissant la suite $(I, J)$ ; on pose $e_I^* \wedge e_J^* = \varepsilon(I, J)\, e_{I \cup J}^*$, et $0$ si $I \cap J \neq \varnothing$, puis on prolonge par bilinéarité.

Ranger $(I, J, L)$ en deux temps, d'abord $(I, J)$ puis le tout, ou d'abord $(J, L)$, donne la même permutation ; la signature étant un morphisme (Permutations, signature), $$\begin{aligned} &\varepsilon(I, J)\varepsilon(I \cup J, L) \\ &\quad = \varepsilon(J, L)\varepsilon(I, J \cup L), \end{aligned}$$ d'où l'associativité.

Passer de $(J, I)$ à $(I, J)$ demande $|I|\,|J|$ transpositions de voisins, d'où la règle des signes. Pour $\varphi = \sum c_i e_i^*$, $$\begin{aligned} \varphi \wedge \varphi &= \sum_{i < j} c_ic_j(e_i^* \wedge e_j^* \\ &\qquad + e_j^* \wedge e_i^*) \\ &= 0, \end{aligned}$$ les termes $c_i^2\,e_i^* \wedge e_i^*$ étant nuls par construction, deux suites égales et non vides n'étant pas disjointes.

Formule du déterminant. Les deux membres sont multilinéaires et alternés en $(\varphi_1, \dots, \varphi_k)$ : le premier parce que l'on peut amener deux facteurs égaux côte à côte, au signe près, puis utiliser $\varphi \wedge \varphi = 0$ ; le second parce qu'un déterminant à deux lignes égales est nul (Déterminant d'une matrice, (iii)).

Par (i), appliqué à l'espace $E^*$, ils sont déterminés par leurs valeurs en $(e_{j_1}^*, \dots, e_{j_k}^*)$ avec $j_1 < \cdots < j_k$, où les deux valent $e_J^*(x)$.

Unicité et indépendance de la base. En degré $0$, le produit est imposé par la convention de l'énoncé ; c'est aussi celui de la construction, puisque $\varepsilon(\varnothing, J) = 1$. En degrés $k, l \geqslant 1$, un produit associatif vérifiant la formule est déterminé sur les $e_I^* = e_{i_1}^* \wedge \cdots \wedge e_{i_k}^*$, qui forment une base ; la formule ne faisant intervenir aucune base, le produit construit à partir d'une autre base lui est égal.

(iii) $u^*\alpha$ est multilinéaire et alternée. Pour des formes linéaires, $$\begin{aligned} &u^*(\varphi_1 \wedge \cdots \wedge \varphi_k) \\ &\quad = (\varphi_1 \circ u) \wedge \cdots \wedge (\varphi_k \circ u) \end{aligned}$$ par la formule du déterminant ; ces produits engendrent $\Lambda^k(E)$, et l'on conclut par bilinéarité. La composition est immédiate, et la dernière formule est la définition de $\det u$.