Théorème 3Groupe symétrique et déterminant

Déterminant d'une matrice carrée

On garde les notations du nœud Déterminant. Le déterminant d'une matrice carrée $A = (a_{ij})$ est $\det A = \sum_{\sigma \in {\mathfrak S_n}} \varepsilon(\sigma) \prod_j a_{\sigma(j)\, j},$ c'est-à-dire le déterminant de ses colonnes dans la base canonique de ${K^n}$ .

Énoncé

(i) $\det u$ est le déterminant de la matrice de $u$ dans n'importe quelle base.

(ii) Pour deux matrices carrées, $\det(AB) = \det A \cdot \det B$ , et $A$ est inversible si et seulement si $\det A \neq 0$ .

(iii) $\det {}^tA = \det A$ , où ${}^tA = (a_{ji})$ est la transposée. Le déterminant est multilinéaire et alterné par rapport aux lignes, et nul dès que deux lignes sont égales.

Démonstration

(i) Si $A$ est la matrice de $u$ dans $\mathcal B$ , les coordonnées de $u(e_j)$ forment la $j$ -ième colonne de $A$ , et $\det u = \det_{\mathcal B}(u(e_1), \dots, u(e_n)) = \det A$ ; le premier membre ne dépend d'aucune base.

(ii) La formule du produit découle de (Déterminant, (i)) et de Matrices, (ii), appliquées aux endomorphismes $x \mapsto Ax$ et $x \mapsto Bx$ de $K^n$ , dont les matrices dans la base canonique sont $A$ et $B$ ; l'équivalence découle de même du point (ii) de ce nœud-là, $A$ étant inversible si et seulement si $x \mapsto Ax$ est bijectif.

(iii) Pour la transposée, en réindexant chaque produit par $i = \sigma(j)$ , $\prod_j a_{\sigma(j)\, j} = \prod_i a_{i\, \sigma^{-1}(i)}$ , et $\varepsilon(\sigma^{-1}) = \varepsilon(\sigma)$ ; comme $\sigma \mapsto \sigma^{-1}$ est une bijection de $\mathfrak S_n$ , $\det A = \sum_\rho \varepsilon(\rho) \prod_i a_{i\, \rho(i)} = \det {}^tA.$

Le déterminant est donc aussi multilinéaire et alterné par rapport aux lignes ; en particulier, il est nul dès que deux lignes sont égales (Formes alternées, (i)).

□

Remarque

L'erreur la plus répandue est de traiter le déterminant comme une application linéaire. Il est multiplicatif, mais pas additif : $\det(I_2 + I_2) = \det(2I_2) = 4$ , alors que $\det I_2 + \det I_2 = 2$ . En général $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ , puisque chacune des $n$ colonnes est multipliée par $\lambda$ .

Remarque

Sur $\mathbb R$ , le signe du déterminant sépare les bases en deux classes, celles qui ont même orientation que la base canonique et les autres, et sa valeur absolue mesure le facteur par lequel $u$ multiplie les volumes.

Le carré unité, en gris, a pour images deux parallélogrammes d'aires

5

3

, pour

u

de matrice

\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

puis

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

. Dans le premier cas, on tourne de

u(e_1)

vers

u(e_2)

dans le sens direct, comme de

e_1

vers

e_2

; dans le second, de déterminant

-3

, on tourne dans le sens indirect : l'orientation est renversée.

Le premier fait fonde l'orientation des variétés, le second la formule du changement de variables, démontrée au chapitre Changement de variables des équations différentielles, où la mesure de Lebesgue de $\mathbb R^n$ est construite et où l'on établit $\lambda(A(E)) = |\det A|\,\lambda(E)$ (Image linéaire). Sur $\mathbb R$ , le déterminant est polynomial en les coefficients, donc continu : c'est ce que le nœud Groupe linéaire utilise.

Repose sur

Déterminant d'un endomorphisme Matrices d'une application linéaire

Sert à

Développement et comatrice