Développement et comatrice

Par linéarité par rapport à la colonne $j$, on a $$\det A = \sum_i a_{ij} D_{ij},$$ où $D_{ij}$ est le déterminant de la matrice $A_{ij}$ obtenue en remplaçant la colonne $j$ de $A$ par le $i$-ième vecteur de la base canonique.

Amenons cette colonne en première position par $j - 1$ échanges de colonnes voisines, puis la ligne $i$ en première position par $i - 1$ échanges de lignes voisines, le déterminant étant alterné par rapport aux colonnes comme aux lignes (Déterminant d'une matrice, (iii)) : il est multiplié par $(-1)^{i+j}$, et l'on obtient une matrice dont la première colonne est $(1, 0, \dots, 0)$ et dont le bloc obtenu en supprimant la première ligne et la première colonne est la matrice du mineur $\Delta_{ij}$.

Dans la formule du déterminant de cette matrice, seules les $\sigma$ qui fixent $1$ contribuent, et ces $\sigma$ s'identifient aux permutations de $\{2, \dots, n\}$, avec la même signature, puisque les paires $\{1, k\}$ sont respectées. Donc $D_{ij} = (-1)^{i+j}\Delta_{ij} = C_{ij}$.

Le coefficient $(j, k)$ de ${}^t\!\operatorname{com} A\; A$ est $\sum_i C_{ij} a_{ik}$ : c'est, par le même développement, le déterminant de la matrice obtenue en remplaçant la colonne $j$ de $A$ par sa colonne $k$. Il vaut $\det A$ si $j = k$, et $0$ sinon, deux colonnes étant égales.

L'autre égalité s'obtient en appliquant celle-ci à ${}^tA$, dont la comatrice est ${}^t\!\operatorname{com} A$, puis en transposant, avec ${}^t(XY) = {}^tY\, {}^tX$.