Image de la mesure de Lebesgue par une application linéaire

(i) Cubes dyadiques. Le cube $]0, 1]^n$ est la réunion disjointe des $2^{jn}$ cubes dyadiques de niveau $j$ qu'il contient (Cubes dyadiques, (i)), tous translatés de $]0, 2^{-j}]^n$ ; donc $\mu(]0, 2^{-j}]^n) = c\,2^{-jn}$.

De même, pour des entiers $p_i \geqslant 1$, le pavé $\prod_i \,]0, p_i 2^{-j}]$ est la réunion disjointe de $p_1 \cdots p_n$ translatés de $]0, 2^{-j}]^n$. Sa mesure pour $\mu$ est donc $c\prod_i p_i 2^{-j}$, soit $c$ fois sa mesure pour $\lambda$.

Pavés quelconques. Soit $s \in \,]0, +\infty[^n$, et $s^{(j)}_i = 2^{-j}\big(\lfloor 2^j s_i \rfloor + 1\big)$. Comme $2^{j+1}s_i < 2\lfloor 2^j s_i \rfloor + 2$, on a $\lfloor 2^{j+1}s_i \rfloor \leqslant 2\lfloor 2^j s_i \rfloor + 1$ : la suite $(s^{(j)}_i)_j$ décroît, et $s_i < s^{(j)}_i \leqslant s_i + 2^{-j}$.

Les pavés $\prod_i \,]0, s^{(j)}_i]$ décroissent donc, ont pour intersection $\prod_i \,]0, s_i]$, et sont de mesure finie pour $\mu$ comme pour $\lambda$. La continuité décroissante des mesures (Mesures, (iii)) donne $$\mu\Big(\prod_i \,]0, s_i]\Big) = c\prod_i s_i.$$

Un pavé $\prod_i \,]a_i, b_i]$ dont tous les facteurs sont non vides est le translaté par $a$ de $\prod_i \,]0, b_i - a_i]$ ; si l'un des $a_i$ égale $b_i$, il est vide. Dans tous les cas, $\mu$ et $c\lambda$ coïncident sur les pavés.

Conclusion. Le pavé $]{-k}, k]^n$ est la réunion de $(2k)^n$ cubes de niveau $0$, translatés de $]0, 1]^n$, et sa mesure $c(2k)^n$ est finie. L'unicité du nœud Classes monotones, (ii), appliquée au π-système des pavés et du vide, qui engendre $\mathcal B(\mathbb R^n)$ (Lebesgue sur ℝⁿ, (i)), donne $\mu = c\lambda$.

(ii) Réduction. Par l'invariance par translation (Lebesgue sur ℝⁿ, (iii)), on peut supposer $b = 0$. L'ensemble $A(E)$ est l'image réciproque de $E$ par l'application linéaire $A^{-1}$, continue (Équivalence des normes, (iii)) : il est borélien (Lebesgue sur ℝⁿ, (i)).

Une mesure invariante. Comme $A$ est injective, $\mu_A(E) = \lambda(A(E))$ définit une mesure, invariante par translation puisque $A(E + t) = A(E) + At$. Pour la norme $\|\cdot\|_\infty$ et $M = |||A|||$, on a $A(]0, 1]^n) \subset [-M, M]^n$, si bien que $c(A) = \mu_A(]0, 1]^n) \leqslant (2M)^n$ est fini. Par (i), $$\lambda(A(E)) = c(A)\,\lambda(E).$$

Multiplicativité. Pour $A$ et $B$ inversibles, ce qui précède, appliqué à $A$ puis à $B$, donne $$\begin{aligned} c(AB) &= \lambda\big(A(B(]0, 1]^n))\big) \\ &= c(A)\,c(B). \end{aligned}$$

Matrices élémentaires. Pour une matrice diagonale inversible $D$, l'ensemble $D(]0, 1]^n)$ est le produit des intervalles $]0, d_i]$ ou $[d_i, 0[$, selon le signe de $d_i$, de mesure $\prod_i |d_i| = |\det D|$ (Lebesgue sur ℝⁿ, (iv)). Pour une matrice de permutation, $c(P_\sigma) = 1 = |\det P_\sigma|$ (Lebesgue sur ℝⁿ, (iii)).

Soit enfin une transvection $T_{ij}(s)$, ce qui suppose $n \geqslant 2$, et $\sigma \in {\mathfrak S_n}$ telle que $\sigma(j) = 1$ et $\sigma(i) = n$. Par le nœud Matrices élémentaires, (ii), et la multiplicativité, $c(T_{ij}(s)) = c(T_{n1}(s))$. Or $T_{n1}(s)$ envoie $(x', x_n)$, où $x' \in \mathbb R^{n-1}$, sur $(x', x_n + sx_1)$.

Un point $(x', y)$ appartient donc à $T_{n1}(s)(]0, 1]^n)$ si et seulement si $x' \in \,]0, 1]^{n-1}$ et $0 < y - sx_1 \leqslant 1$. La section en $x'$ est $]sx_1, sx_1 + 1]$, de longueur $1$, ou vide, et le nœud Mesure produit, (iii), donne $$\begin{aligned} c(T_{n1}(s)) &= \int_{\mathbb R^{n-1}} \mathbf 1_{]0, 1]^{n-1}}\,d\lambda_{n-1} \\ &= 1 = \det T_{n1}(s). \end{aligned}$$

Conclusion. Par le pivot de Gauss (Matrices élémentaires, (iii)), $A$ est un produit $G_1 \cdots G_r$ de matrices élémentaires inversibles. Par multiplicativité de $c$ et du déterminant (Déterminant d'une matrice, (ii)), $$\begin{aligned} c(A) &= \prod_l c(G_l) \\ &= \prod_l |\det G_l| = |\det A|. \end{aligned}$$

(iii) Si $A$ n'est pas inversible, $x \mapsto Ax$ n'est pas bijective (Déterminant d'une matrice, (ii)), donc pas surjective (Théorème du rang), et son image est un sous-espace de dimension $r \leqslant n - 1$ (Dimension, (iii)). Complétons une base $(f_1, \dots, f_r)$ de l'image en une base $(f_1, \dots, f_n)$ de $\mathbb R^n$ (Dimension, (iii)), et soit $B$ la matrice inversible de colonnes $f_1, \dots, f_n$.

Alors $A(\mathbb R^n) = B(F)$, où $F = \{x : x_{r+1} = \cdots = x_n = 0\}$ est un fermé, donc un borélien, contenu dans l'hyperplan $\{x_n = 0\}$. Par (ii) et le nœud Lebesgue sur ℝⁿ, (iv), $A(\mathbb R^n)$ est borélien et $\lambda(A(\mathbb R^n)) = |\det B|\,\lambda(F) = 0$.