Théorie

Équations différentielles

Elle étudie les équations $y' = F(t, y)$. Le théorème de Cauchy-Lipschitz, obtenu par un point fixe dans un espace de Banach, donne l'existence et l'unicité locales lorsque $F$ est lipschitzienne en $y$ ; le lemme de Grönwall contrôle la dépendance par rapport aux conditions initiales. Lorsque $F$ est seulement continue, le théorème de Peano donne encore l'existence, par le théorème d'Ascoli appliqué aux polygones d'Euler, mais plus l'unicité.

Les systèmes linéaires se résolvent par l'exponentielle de matrices. Le flot d'un champ de vecteurs de classe $C^k$ est de classe $C^k$, et sa différentielle par rapport à la condition initiale résout l'équation variationnelle, ce que démontre Grönwall appliqué au reste de Taylor ; les champs de vecteurs d'une variété compacte engendrent des flots, groupes à un paramètre de transformations.

C'est la première théorie de l'édifice dont la mesure, le calcul différentiel, l'algèbre linéaire et l'analyse complexe sont tous des ancêtres : la formule du changement de variables dans ${\mathbb R^n}$, $\int_V f = \int_U f \circ \varphi\,|\det d\varphi|$ pour un difféomorphisme $\varphi$ de $U$ sur $V$, y est démontrée, avec les coordonnées polaires et l'intégrale de Gauss. Appliquée au flot, elle donne le théorème de Liouville : le flot d'un champ de divergence nulle conserve le volume.

La stabilité d'un équilibre au sens de Liapounov s'y étudie de deux façons : par une fonction qui décroît le long des trajectoires, comme l'énergie du pendule amorti, complétée par le principe d'invariance de LaSalle ; et par linéarisation, l'équilibre étant asymptotiquement stable si toutes les valeurs propres complexes de la différentielle du champ ont une partie réelle strictement négative, et instable si l'une d'elles a une partie réelle strictement positive.

Deux chapitres y développent la géométrie des courbes et des surfaces de $\mathbb R^3$, qui demande à la fois les fonctions trigonométriques, Cauchy-Lipschitz et le changement de variables. Le repère de Frenet d'une courbe est solution d'un système linéaire, et la courbure et la torsion la déterminent à déplacement près. Pour une surface, la courbure de Gauss ne dépend que des longueurs mesurées sur elle (Theorema egregium de Gauss) ; les géodésiques sont les solutions d'une équation du second ordre, qui minimisent localement la longueur, et, pour un triangle géodésique contenu dans des coordonnées polaires géodésiques centrées en l'un de ses sommets, l'excès de la somme des angles sur $\pi$ est l'intégrale de la courbure (Gauss-Bonnet).