ChapitreÉquations différentielles

Stabilité des équilibres au sens de Liapounov

Un équilibre d'un champ de vecteurs $X$ est un point où $X$ s'annule. Il est stable si les trajectoires issues de points voisins restent voisines pour tous les temps positifs, asymptotiquement stable si elles tendent de plus vers lui ; la convergence seule ne suffit pas à la stabilité.

Pour un système linéaire $y' = Ay$, le chapitre établit que l'origine est asymptotiquement stable si et seulement si toutes les valeurs propres complexes de $A$ ont une partie réelle strictement négative, avec $|||e^{tA}||| \leqslant Ce^{-\beta t}$. La réduction des endomorphismes n'étant pas un ancêtre, la démonstration trigonalise $A$ sur $\mathbb C$ par le seul théorème de d'Alembert-Gauss, puis rend la partie nilpotente aussi petite qu'on veut.

La seconde méthode de Liapounov conclut sans résoudre l'équation, par une fonction qui décroît le long des trajectoires ; l'équation ${}^tAP + PA = -I$ en fournit une, quadratique, et la différentielle du flot en un équilibre $a$, $d\varphi_t(a) = e^{tA}$ avec $A = dX(a)$, ramène au cas linéaire : un équilibre dont le linéarisé a toutes ses valeurs propres de partie réelle strictement négative est asymptotiquement stable, et il est instable si l'une d'elles est de partie réelle strictement positive. Le principe d'invariance de LaSalle traite le pendule amorti, dont l'énergie ne décroît qu'au sens large. Aucune forme du choix n'intervient.