Définition 1Stabilité des équilibres

Équilibres, stabilité et stabilité asymptotique

Soit $U$ un ouvert de ${\mathbb R^n}$ , $X : U \to \mathbb R^n$ un champ de classe $C^1$ et $\varphi$ son flot (Flot) : la courbe intégrale issue de $x$ est définie sur $]\alpha(x), \beta(x)[$ . On munit $\mathbb R^n$ d'une norme $\|\cdot\|$ .

Un équilibre de $X$ est un point $a \in U$ tel que $X(a) = 0$ .

Un équilibre $a$ est stable, ou stable au sens de Liapounov, si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ tel que, pour tout $x \in U$ vérifiant $\|x - a\| < \delta$ , la courbe intégrale issue de $x$ soit définie sur $[0, +\infty[$ et vérifie $\|\varphi_t(x) - a\| < \varepsilon \quad \text{pour tout } t \geqslant 0.$ Il est instable s'il n'est pas stable.

Il est attractif s'il existe $\eta > 0$ tel que, pour tout $x \in U$ vérifiant $\|x - a\| < \eta$ , la courbe intégrale issue de $x$ soit définie sur $[0, +\infty[$ et tende vers $a$ quand $t \to +\infty$ . Il est asymptotiquement stable s'il est à la fois stable et attractif.

Énoncé

(i) Un point $a \in U$ est un équilibre si et seulement si la courbe intégrale issue de $a$ est constante. Elle est alors définie sur ${\mathbb R}$ , et $\varphi_t(a) = a$ pour tout $t$ .

(ii) Les notions d'équilibre stable, attractif et asymptotiquement stable ne dépendent pas de la norme choisie sur $\mathbb R^n$ .

(iii) Si la courbe intégrale issue de $x$ est définie sur $[0, +\infty[$ et a une limite $b \in U$ quand $t \to +\infty$ , alors $b$ est un équilibre.

Démonstration

(i) Si $X(a) = 0$ , la fonction constante égale à $a$ , définie sur $\mathbb R$ , est solution de $y' = X(y)$ . Étant définie sur $\mathbb R$ tout entier, elle n'est la restriction d'aucune autre solution : c'est la solution maximale issue de $a$ (Solutions maximales, (ii)). Réciproquement, si la courbe issue de $a$ est constante, sa dérivée est nulle, et elle vaut $X(a)$ en $t = 0$ .

(ii) Soit $N$ et $N'$ deux normes sur $\mathbb R^n$ . Elles sont équivalentes (Normes en dimension finie, (i)) : il existe $c, C > 0$ tels que $cN \leqslant N' \leqslant CN$ .

Supposons $a$ stable pour $N$ , et soit $\varepsilon > 0$ . Soit $\delta$ associé à $\varepsilon / C$ pour la norme $N$ . Si $N'(x - a) < c\delta$ , alors $N(x - a) < \delta$ ; la courbe issue de $x$ est définie sur $[0, +\infty[$ , et $N'(\varphi_t(x) - a) \leqslant C\,N(\varphi_t(x) - a) < \varepsilon.$ Le nombre $c\delta$ convient donc pour $N'$ . De même, si $\eta$ convient dans la définition de l'attractivité pour $N$ , le nombre $c\eta$ convient pour $N'$ , puisque l'encadrement montre qu'une fonction tend vers $a$ pour $N$ si et seulement si elle y tend pour $N'$ . En échangeant les rôles de $N$ et $N'$ , on obtient les réciproques.

(iii) Toutes les normes de $\mathbb R^n$ étant équivalentes (Normes en dimension finie, (i)), la convergence ne dépend pas de la norme, et l'on peut prendre $\|\cdot\| = \|\cdot\|_\infty$ . Supposons $X(b) \neq 0$ : il existe un indice $i$ tel que $c = |X_i(b)| > 0$ ; soit $\sigma \in \{-1, 1\}$ le signe de $X_i(b)$ . Par continuité de $X_i$ en $b$ , et puisque $U$ est ouvert, il existe $r > 0$ tel que $B(b, r) \subset U$ et que $\sigma X_i(y) > \frac c2$ pour tout $y \in B(b, r)$ .

Il existe $T \geqslant 0$ tel que $y(t) = \varphi_t(x)$ appartienne à $B(b, r)$ pour tout $t \geqslant T$ . La fonction $g = \sigma y_i$ a pour dérivée $\sigma X_i(y(t)) > \frac c2$ sur $[T, +\infty[$ , et l'égalité des accroissements finis (Égalité des accroissements finis) donne $g(t) \geqslant g(T) + \frac c2\,(t - T).$ Or $|g(t) - \sigma b_i| \leqslant \|y(t) - b\|_\infty < r$ pour $t \geqslant T$ : $g$ est bornée sur $[T, +\infty[$ , ce qui est absurde. Donc $X(b) = 0$ .

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Remarque

Sur $\mathbb R$ , les trois équations $y' = -y$ , $y' = 0$ et $y' = y$ montrent les trois comportements. Pour la première, $\varphi_t(x) = xe^{-t}$ , et $0$ est asymptotiquement stable. Pour la deuxième, tout point est un équilibre stable, avec $\delta = \varepsilon$ , mais aucun n'est attractif. Pour la troisième, $\varphi_t(x) = xe^t$ s'éloigne de $0$ dès que $x \neq 0$ : l'équilibre $0$ est instable.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire qu'un équilibre attractif est stable. Sur l'ouvert $U = \mathbb R^2 \setminus \{0\}$ , considérons le champ de classe $C^1$ $\begin{aligned} X(x, y) = \big(&x(1 - r) - y(1 - \tfrac xr), \\ &y(1 - r) + x(1 - \tfrac xr)\big), \end{aligned}$ avec $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ , qui s'écrirait en coordonnées polaires $r' = r(1 - r)$ et $\theta' = 1 - \cos\theta$ . On n'a pas besoin de ces coordonnées : on écrit directement les courbes intégrales.

Tout point de $U$ s'écrit $r_0(\cos\theta_0, \sin\theta_0)$ , avec $r_0 > 0$ et $\theta_0 \in [0, 2\pi[$ (Paramétrage du cercle, (iii)). Pour $t \geqslant 0$ , posons $R(t) = \frac{r_0}{r_0 + (1 - r_0)e^{-t}},$ dont le dénominateur est au moins $\min(r_0, 1) > 0$ , puis $\Theta = 0$ si $\theta_0 = 0$ , et sinon $\Theta(t) = \pi - 2\arctan(c - t), \quad c = \tan\tfrac{\pi - \theta_0}2.$ On vérifie que $R(0) = r_0$ , $R' = R(1 - R)$ , $\Theta(0) = \theta_0$ , et, par les formules d'addition (Formules d'addition) et l'égalité $\cos(\arctan v) = 1/\sqrt{1 + v^2}$ (Tangente, cos et sin, (iii) ; Cosinus et sinus sur ℝ), que $\Theta' = \frac2{1 + (c - t)^2} = 1 - \cos\Theta$ . La règle de la chaîne montre alors que $z(t) = R(t)(\cos\Theta(t), \sin\Theta(t))$ vérifie $\begin{aligned} z' &= R'(\cos\Theta, \sin\Theta) \\ &\quad + R\,\Theta'(-\sin\Theta, \cos\Theta) \\ &= X(z) : \end{aligned}$ c'est la courbe intégrale issue de $r_0(\cos\theta_0, \sin\theta_0)$ , définie sur $[0, +\infty[$ (Solutions maximales). Quand $t \to +\infty$ , $R(t) \to 1$ et $\Theta(t) \to 2\pi$ : toute courbe intégrale tend vers le point $a = (1, 0)$ , qui est donc un équilibre, par (iii), et l'angle $\Theta$ croît jusqu'à $2\pi$ .

La courbe issue d'un point

x

du cercle unité, en bleu, aussi proche qu'on veut de

a

et dans le disque pointillé de rayon

\delta

, fait tout le tour du cercle avant de revenir vers

a

: elle passe en

(-1, 0)

, à distance

2

a

. La courbe verte, issue de l'intérieur, s'enroule vers le cercle et rejoint elle aussi

a

par en dessous. L'équilibre

a

est attractif, mais pas stable.

Pour $\varepsilon = 1$ , aucun $\delta$ ne convient donc dans la définition de la stabilité, bien que $a$ attire tous les points de $U$ . La stabilité est une propriété uniforme sur les temps, que la seule convergence ne donne pas.

Remarque

L'exemple précédent profite du trou de $U$ en $0$ . Un exemple d'équilibre attractif instable pour un champ rationnel défini sur tout le plan est attribué à R. È. Vinograd, dans un article de 1957 sur l'insuffisance de la méthode des exposants caractéristiques pour les équations non linéaires (Mat. Sbornik 41 (83), p. 431-438) ; il n'est pas reproduit ici.

Remarque

Les notions ne portent que sur les temps positifs. Le changement de $X$ en $-X$ renverse le temps (Domaine du flot, (i)) : pour $y' = y$ , l'équilibre $0$ , instable, devient asymptotiquement stable pour $y' = -y$ . Un équilibre n'est donc pas stable « en soi », mais relativement au sens du temps.

Remarque

Les définitions remontent à A. M. Liapounov, qui, dans sa thèse « Problème général de la stabilité du mouvement », définit la stabilité d'un mouvement par rapport à des quantités données ; celles qu'on a posées en sont le cas d'un équilibre et des coordonnées. La thèse a été imprimée en 1892 par la Société mathématique de Kharkov et soutenue la même année à l'université de Moscou ; sa traduction française par Édouard Davaux, revue par l'auteur, a paru dans les Annales de la Faculté des sciences de Toulouse (2ᵉ série, tome 9, 1907, p. 203-474).

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Théorème de stabilité de Liapounov Stabilité de l'origine pour un système linéaire à coefficients constants