Tangente, cosinus et sinus sur ]−π/2, π/2[

(i) Par Arc tangente, π, l'arc tangente est continue et strictement croissante ; par le théorème de la bijection (Bijection continue), son image $J$ est un intervalle, et elle réalise une bijection de $\mathbb R$ sur $J$, de réciproque continue et strictement croissante. Les valeurs de $\arctan$ sont dans $I_0$, donc $J \subset I_0$.

Réciproquement, soit $y \in I_0$. Comme $y < \frac\pi2 = \sup J$, il existe $x_1$ avec $\arctan x_1 > y$ ; comme $-y < \frac\pi2$, il existe $x_2$ avec $\arctan x_2 > -y$, soit $\arctan(-x_2) < y$. L'intervalle $J$ contient deux valeurs qui encadrent $y$, donc il contient $y$, et $J = I_0$.

L'imparité de $\tan$ vient de celle de $\arctan$ : $\arctan(-\tan y) = -y$. La dérivée de $\arctan$ ne s'annule pas ; la dérivée d'une réciproque (Dérivée d'une réciproque, (i)) donne, pour $y \in I_0$, $$\tan'(y) = \frac{1}{\arctan'(\tan y)} = 1 + \tan^2 y.$$

Enfin, soit $M$ réel et $y_0 = \arctan M$, de sorte que $y_0 < \frac\pi2$. Pour $y_0 < y < \frac\pi2$, on a $\tan y > \tan y_0 = M$ ; on prend $\delta = \frac\pi2 - y_0$.

(ii) La fonction $u \mapsto u^2$ est continue sur $[0, +\infty[$ et strictement croissante : si $0 \leqslant u < v$, alors $u^2 \leqslant uv < v^2$. Son image est un intervalle (Bijection continue) formé de réels positifs ; il contient $0$, et, pour tout $w \geqslant 0$, il contient $(w + 1)^2 \geqslant w + 1 > w$, donc $w$. C'est $[0, +\infty[$.

Le théorème de la bijection donne la racine carrée, continue et strictement croissante ; l'unicité de $\sqrt u$ est l'injectivité du carré sur $[0, +\infty[$. La dérivée de $u \mapsto u^2$ est $2u$ (Opérations, (iv)), non nulle pour $u > 0$, et la dérivée d'une réciproque donne $\sqrt{\,\cdot\,}'(w) = \frac{1}{2\sqrt w}$ pour $w > 0$.

(iii) Posons $\varphi = 1 + \tan^2$, qui est au moins $1$. Alors $\sqrt\varphi \geqslant \sqrt 1 = 1$ par croissance, et $c = \frac{1}{\sqrt\varphi}$ est bien défini, dans $]0, 1]$. Comme $\tan 0 = 0$, on a $c(0) = 1$ et $s(0) = 0$ ; pour $y > 0$, $\tan y > 0$ et donc $s(y) > 0$.

La fonction $\tan$ étant impaire, $\tan^2$ et $c$ sont paires et $s$ est impaire. On a $c^2 = \frac1\varphi$ et $s^2 = \frac{\tan^2}{\varphi}$, de somme $\frac{1 + \tan^2}{\varphi} = 1$.

Par la formule du produit (Opérations, (ii)), $\varphi' = 2\tan \cdot \tan' = 2\tan \cdot \varphi$. La fonction $\sqrt\varphi$ est dérivable comme composée (Dérivée d'une composée), puisque $\varphi > 0$, et $$(\sqrt\varphi)' = \frac{\varphi'}{2\sqrt\varphi} = \frac{\tan \cdot \varphi}{\sqrt\varphi} = \tan \cdot \sqrt\varphi.$$

Par la dérivée d'un inverse (Opérations, (iii)), $$c' = -\frac{(\sqrt\varphi)'}{\varphi} = -\frac{\tan}{\sqrt\varphi} = -\tan \cdot c = -s.$$ Enfin $s' = \tan' \cdot c + \tan \cdot c' = \varphi\, c - \tan^2 c = c$.