Théorème de la bijection

$J$ est un intervalle par le théorème des valeurs intermédiaires (Valeurs intermédiaires). La stricte monotonie rend $f$ injective, donc bijective de $I$ sur $J$. Si $f$ est strictement croissante et $y < y'$ dans $J$, on ne peut avoir $f^{-1}(y) \geqslant f^{-1}(y')$, sans quoi $y \geqslant y'$ : la réciproque est strictement croissante.

Enfin $f^{-1}$ est monotone sur l'intervalle $J$, et son image $I$ est un intervalle : le lemme sur les fonctions monotones (Monotone d'image intervalle) montre qu'elle est continue.

Il reste à voir que $f$ est un homéomorphisme de $I$ sur $J$, munis des topologies induites par la topologie usuelle de $\mathbb R$, c'est-à-dire que la continuité au sens de ce chapitre (Continuité en un point) y est la continuité topologique. Soit $A, B \subset \mathbb R$ et $g : A \to B$ ; montrons que $g$ est continue en tout point de $A$ si et seulement si $g^{-1}(W)$ est ouvert dans $A$ pour tout ouvert $W$ de $B$. Les ouverts de $A$ et de $B$ se décrivent par les boules (Topologie usuelle de ℝ, (iv)).

Supposons $g$ continue en tout point, et soit $W$ ouvert dans $B$ et $a \in g^{-1}(W)$. Il existe $\varepsilon > 0$ tel que $]g(a) - \varepsilon, g(a) + \varepsilon[ \,\cap B \subset W$, puis $\delta > 0$ tel que $|g(x) - g(a)| < \varepsilon$ pour $x \in A$ et $|x - a| < \delta$. Ainsi $]a - \delta, a + \delta[ \,\cap A \subset g^{-1}(W)$, et $g^{-1}(W)$ est ouvert dans $A$.

Réciproquement, soit $a \in A$ et $\varepsilon > 0$. La partie $W = \,]g(a) - \varepsilon, g(a) + \varepsilon[ \,\cap B$ est ouverte dans $B$, puisque la boule est ouverte, et $g^{-1}(W)$, ouvert dans $A$, contient $a$ : il existe $\delta > 0$ tel que $]a - \delta, a + \delta[ \,\cap A \subset g^{-1}(W)$, ce qui est la continuité en $a$.

Appliqué à $f$ et à $f^{-1}$, ce résultat montre que $f$ est un homéomorphisme.