Topologie usuelle de ℝ

(i) La partie vide vérifie la condition sans qu'il y ait rien à vérifier, et $\mathbb R$ la vérifie avec $r = 1$.

Si $x$ appartient à une réunion d'ouverts $U_i$, il appartient à l'un d'eux, $U_j$, et une boule de centre $x$ incluse dans $U_j$ est incluse dans la réunion.

Si $x \in U_1 \cap U_2$, avec $]x - r_1, x + r_1[ \,\subset U_1$ et $]x - r_2, x + r_2[ \,\subset U_2$, la boule de rayon $\min(r_1, r_2)$ est incluse dans $U_1 \cap U_2$. Ce sont les trois axiomes du nœud Espace topologique.

(ii) Soit $x \in \,]a, b[$ et $r = \min(x - a, b - x) > 0$. Si $|y - x| < r$, alors $$a \leqslant x - r < y < x + r \leqslant b :$$ la boule est incluse dans $]a, b[$. Pour $]a, +\infty[$, le rayon $r = x - a$ convient, et de même pour $]{-\infty}, b[$.

Le complémentaire de $[a, b]$ est la réunion des ouverts $]{-\infty}, a[$ et $]b, +\infty[$, celui de $[a, +\infty[$ est $]{-\infty}, a[$ : ces parties sont fermées.

Enfin, un ouvert $U$ est la réunion de tous les intervalles ouverts bornés inclus dans $U$, puisque chaque point de $U$ est le centre d'une boule incluse dans $U$ ; cette description ne demande de choisir aucun rayon.

(iii) Si $x \neq y$, posons $r = |x - y|/2 > 0$. Un point $z$ commun aux boules $]x - r, x + r[$ et $]y - r, y + r[$ donnerait $$\begin{aligned} |x - y| &\leqslant |x - z| + |z - y| \\ &< 2r = |x - y|. \end{aligned}$$ Ces deux boules sont des voisinages disjoints de $x$ et de $y$.

(iv) Si $V = O \cap A$ avec $O$ ouvert, et $x \in V$, une boule de centre $x$ incluse dans $O$ vérifie $]x - r, x + r[ \,\cap A \subset O \cap A = V$.

Réciproquement, supposons la condition remplie, et soit $O$ la réunion de toutes les boules $]x - r, x + r[$, avec $x \in V$ et $r > 0$, telles que $]x - r, x + r[ \,\cap A \subset V$. C'est un ouvert ; il contient $V$ par hypothèse, et $O \cap A \subset V$ par construction. Donc $V = O \cap A$.