Proposition 2Topologie de ℝ

Voisinages, intérieur et adhérence dans ℝ

Énoncé

Soit $A \subset {\mathbb R}$ et $x \in \mathbb R$ .

(i) Une partie $V$ est un voisinage de $x$ si et seulement si elle contient une boule $]x - r, x + r[$ , avec $r > 0$ .

(ii) Le point $x$ appartient à l'intérieur $\mathring A$ si et seulement s'il existe $r > 0$ tel que $]x - r, x + r[ \,\subset A$ .

(iii) Le point $x$ appartient à l'adhérence $\overline A$ si et seulement si, pour tout $r > 0$ , la boule $]x - r, x + r[$ rencontre $A$ ; lorsque $A$ n'est pas vide, cela revient à $\inf\{|x - a| : a \in A\} = 0$ .

(iv) Si $A$ est non vide et majorée, $\sup A \in \overline A$ ; si de plus $A$ est fermée, $\sup A$ appartient à $A$ , qui a donc un plus grand élément. De même, si $A$ est non vide et minorée, $\inf A \in \overline A$ .

Démonstration

(i) Si $V$ contient un ouvert $O$ contenant $x$ , il contient une boule de centre $x$ incluse dans $O$ . Réciproquement, une boule de centre $x$ est un ouvert contenant $x$ (Topologie usuelle de ℝ, (ii)).

(ii) L'intérieur est le plus grand ouvert inclus dans $A$ (Intérieur, adhérence). Si $x \in \mathring A$ , la partie $A$ contient l'ouvert $\mathring A$ , qui contient $x$ : c'est un voisinage de $x$ . Réciproquement, si $A$ contient un ouvert $O$ contenant $x$ , alors $O \subset \mathring A$ .

Ainsi $x \in \mathring A$ si et seulement si $A$ est un voisinage de $x$ , et l'on conclut par (i).

(iii) Par Intérieur, adhérence, (iii), $x \in \overline A$ si et seulement si tout voisinage de $x$ rencontre $A$ . Tout voisinage contient une boule de centre $x$ , et toute boule de centre $x$ est un voisinage : il suffit donc de tester les boules.

Enfin, dire que toute boule $]x - r, x + r[$ rencontre $A$ , c'est dire que, pour tout $r > 0$ , il existe $a \in A$ tel que $|x - a| < r$ ; comme $0$ minore l'ensemble des $|x - a|$ , c'est exactement dire que sa borne inférieure est nulle.

(iv) Soit $s = \sup A$ et $r > 0$ . Le réel $s - r$ ne majore pas $A$ : il existe $a \in A$ tel que $s - r < a \leqslant s$ , donc $a \in \,]s - r, s + r[$ . Par (iii), $s \in \overline A$ .

Si $A$ est fermée, $\overline A = A$ . Le cas de la borne inférieure s'obtient en remplaçant $A$ par $\{-a : a \in A\}$ .

La partie

A

, en rouge, n'atteint pas sa borne supérieure

s

. Pour chaque rayon

r

, le réel

s - r

ne majore pas

A

, de sorte que la boule

]s - r, s + r[

, en bleu, contient un point

a

A

, d'autant plus proche de

s

que

r

est petit : c'est exactement dire que

s

est adhérent à

A

□

Remarque

Pour $A = \,]0, 1]$ , on obtient $\overline A = [0, 1]$ : le point $0$ est adhérent, car $\frac r2$ appartient à $]{-r}, r[ \,\cap A$ dès que $r \leqslant 1$ , et une boule plus grande contient celle de rayon $1$ . Tout point de $A$ lui est adhérent, et un point $x < 0$ ou $x > 1$ ne l'est pas, la boule de centre $x$ et de rayon $|x|$ ou $x - 1$ évitant $A$ .

L'intérieur de $[0, 1]$ est $]0, 1[$ : le point $0$ n'est pas intérieur, puisque $-\frac r2$ appartient à toute boule $]{-r}, r[$ sans appartenir à $[0, 1]$ , et de même pour $1$ , avec le point $1 + \frac r2$ . Tout $x \in \,]0, 1[$ est intérieur, la boule de centre $x$ et de rayon $\min(x, 1 - x)$ étant contenue dans $[0, 1]$ .

Remarque

Pour $A = \{\frac1n : n \geqslant 1\}$ , on a $\overline A = A \cup \{0\}$ et $\mathring A = \varnothing$ . Le point $0$ est adhérent parce que $\mathbb R$ est archimédien : pour $r > 0$ , il existe $n$ tel que $\frac1n < r$ .

Un point $x < 0$ ou $x > 1$ ne l'est pas, la boule de centre $x$ et de rayon $|x|$ ou $x - 1$ évitant $A$ ; un point $x \in \,]\frac1{n+1}, \frac1n[$ non plus, la boule de rayon $\min(x - \frac1{n+1}, \frac1n - x)$ évitant $A$ .

Enfin, aucun point de $A$ n'est intérieur : toute boule centrée en $\frac1n$ contient des points strictement compris entre $\frac1{n+1}$ et $\frac1n$ , qui ne sont pas dans $A$ .

Les points

\frac1n

s'accumulent vers

0

, qui n'appartient pas à

A

: la boule de centre

0

et de rayon

\frac3{20}

, en bleu, contient tous les

\frac1n

pour

n \geqslant 7

, et toute boule centrée en

0

en contient de même une infinité. Le point

x = \frac5{12}

, situé entre

\frac13

\frac12

, est le centre d'une boule, en vert, qui évite

A

: il n'est pas adhérent.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que la borne supérieure appartient à la partie. Elle lui est seulement adhérente : $\sup \,]0, 1[ \,= 1$ n'appartient pas à $]0, 1[$ . Le point (iv) dit exactement ce qui manque, la fermeture.

Remarque

Le point (iv) est l'outil par lequel on montre qu'une borne est atteinte. Le nœud Compacts de ℝ l'appliquera aux compacts, et c'est par lui, via ce nœud, que la théorie des espaces normés obtient l'équivalence des normes en dimension finie (Équivalence des normes).

Repose sur

Topologie usuelle de ℝ

Sert à

Densité des rationnels et des irrationnels Caractérisation séquentielle de l'adhérence et des fermés Parties compactes de ℝ