Proposition 4Topologie de ℝ

Caractérisation séquentielle de l'adhérence et des fermés ⋆

⋆ Axiome du choix

La réciproque de (i), et donc celle de (ii), choisit un terme $a_n$ dans chacun des ensembles $A_n$ : elle utilise le choix dénombrable. On ne peut pas s'en passer en général : H. Herrlich et G. E. Strecker (« When is ℕ Lindelöf? », Comment. Math. Univ. Carolinae 38 (1997), p. 553-556) montrent que, dans $\mathsf{ZF}$ , la réciproque de (i) pour toutes les parties de $\mathbb R$ équivaut au choix dénombrable pour les parties de $\mathbb R$ . Les sens directs n'utilisent aucun choix.

Énoncé

Soit $A \subset {\mathbb R}$ .

(i) Si une suite $(a_n)$ d'éléments de $A$ converge vers $x$ , alors $x \in \overline A$ . Réciproquement, tout point de $\overline A$ est la limite d'une suite d'éléments de $A$ .

(ii) La partie $A$ est fermée si et seulement si la limite de toute suite convergente d'éléments de $A$ appartient à $A$ .

Démonstration

(i) Soit $a_n \to x$ et $r > 0$ . Il existe $N$ tel que $|a_N - x| < r$ , et $a_N$ appartient à $]x - r, x + r[ \,\cap A$ , qui n'est donc pas vide. Par Adhérence, intérieur, (iii), $x \in \overline A$ .

Réciproquement, soit $x \in \overline A$ . Pour tout $n \geqslant 1$ , l'ensemble $A_n = A \,\cap\, ]x - \frac1n, x + \frac1n[$ n'est pas vide ; choisissons $a_n \in A_n$ .

Pour $\varepsilon > 0$ , soit $N$ tel que $\frac1N < \varepsilon$ , qui existe par la propriété d'Archimède : pour $n \geqslant N$ , on a $|a_n - x| < \frac1n \leqslant \frac1N < \varepsilon.$ Donc $a_n \to x$ .

Les points de

A

sont marqués sur l'axe, et

x

, en rouge, leur est adhérent sans leur appartenir. Chaque boule

]x - \frac1n, x + \frac1n[

, en bleu, contient plusieurs points de

A

, et rien ne désigne l'un d'eux plutôt qu'un autre : le point

a_n

, en or, est choisi dans chacune, et c'est cette infinité de choix qui demande le choix dénombrable.

(ii) Si $A$ est fermée et si $a_n \to x$ avec $a_n \in A$ , alors $x \in \overline A = A$ par (i).

Réciproquement, si la condition est remplie, tout point de $\overline A$ est limite d'une suite de $A$ , par la réciproque de (i), donc appartient à $A$ : ainsi $\overline A \subset A$ , et $A$ est fermée.

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Remarque

Le sens direct de (ii), « une partie fermée contient les limites de ses suites convergentes », est le plus employé, et il ne demande aucun choix. C'est lui qu'utilise la démonstration séquentielle du théorème des bornes atteintes, rappelée en remarque au nœud Bornes atteintes, quand elle dit que la limite d'une suite de $[a, b]$ appartient à $[a, b]$ .

Remarque

Le choix disparaît dès que la suite peut être écrite. Si $A$ contient un intervalle $]x, x + r[$ , la suite $a_n = x + \frac{r}{n + 2}$ converge vers $x$ sans qu'on ait rien choisi. C'est le cas, à gauche ou à droite, de tout point adhérent à un intervalle non réduit à un point.

Remarque

La continuité admet la même caractérisation séquentielle, avec le même usage du choix dans la réciproque (Caractérisation séquentielle) ; les deux énoncés figurent d'ailleurs dans la liste de Herrlich et Strecker.

Repose sur

Voisinages, intérieur et adhérence dans ℝ

Sert à

Compacité séquentielle des parties de ℝ