Théorème 6Topologie de ℝ

Compacité séquentielle des parties de ℝ ⋆

⋆ Axiome du choix

La réciproque choisit une suite $(u_n)$ telle que $u_n > n$ , puis utilise la réciproque de la caractérisation séquentielle des fermés ; elle repose donc sur le choix dénombrable. Le premier pas ne peut pas se faire dans $\mathsf{ZF}$ seul : par le même article de Herrlich et Strecker (1997), l'énoncé « toute partie non bornée de $\mathbb R$ contient une suite non bornée » équivaut au choix dénombrable pour les parties de $\mathbb R$ . Le sens direct n'utilise aucun choix.

Énoncé

Une partie $K$ de ${\mathbb R}$ est compacte si et seulement si toute suite d'éléments de $K$ admet une suite extraite qui converge vers un élément de $K$ .

Démonstration

Sens direct. Soit $K$ compacte et $(u_n)$ une suite d'éléments de $K$ . Par Compacts de ℝ, $K$ est bornée, donc $(u_n)$ aussi, et le théorème de Bolzano-Weierstrass (Bolzano-Weierstrass) fournit une suite extraite convergente, de limite $\ell$ .

Comme $K$ est fermée, $\ell \in K$ (Fermés et suites, (ii), sens direct).

Réciproque. Supposons la propriété vraie. Si $K$ n'était pas majorée, on pourrait choisir, pour tout $n$ , un $u_n \in K$ tel que $u_n > n$ . Toute suite extraite vérifierait $u_{\varphi(n)} > \varphi(n) \geqslant n$ , ne serait pas bornée et ne pourrait converger, car une suite convergente est bornée. Donc $K$ est majorée, et de même minorée.

Montrons que $K$ est fermée. Soit $(a_n)$ une suite d'éléments de $K$ qui converge vers $x$ . Une suite extraite $(a_{\varphi(n)})$ converge vers un $\ell \in K$ .

Mais elle converge aussi vers $x$ : si $|a_n - x| < \varepsilon$ pour $n \geqslant N$ , alors $|a_{\varphi(n)} - x| < \varepsilon$ pour $n \geqslant N$ , puisque $\varphi(n) \geqslant n$ . Par unicité de la limite, $x = \ell \in K$ .

Par Fermés et suites, (ii), $K$ est fermée, et elle est compacte par Compacts de ℝ.

□

Remarque

Pour un segment, le sens direct n'est autre que le théorème de Bolzano-Weierstrass : une suite à valeurs dans $[a, b]$ a une suite extraite convergente, et sa limite reste dans $[a, b]$ . C'est sous cette forme que l'emploient les démonstrations séquentielles usuelles des bornes atteintes et du théorème de Heine, rappelées en remarque aux nœuds Bornes atteintes et Théorème de Heine ; celles du chapitre suivant passent par la borne supérieure.

Remarque

Sur $]0, 1]$ , qui n'est pas compact, la suite $u_n = \frac1{n + 1}$ converge vers $0$ , et toutes ses suites extraites aussi : aucune n'a de limite dans $]0, 1]$ . La propriété échoue exactement là où la fermeture manque.

Remarque

L'équivalence entre compacité et compacité séquentielle est propre aux espaces métriques. Dans un espace topologique quelconque, aucune des deux n'entraîne l'autre ; par exemple, le produit $[0, 1]^{[0, 1]}$ est compact par le théorème de Tychonov (Produits de compacts), mais il contient des suites sans suite extraite convergente.

Repose sur

Parties compactes de ℝ Caractérisation séquentielle de l'adhérence et des fermés Théorème de Bolzano-Weierstrass

Sert à

Aucune fiche de ce graphe ne l'utilise encore.