ChapitreAnalyse réelle

Topologie de ℝ

Ouverts, fermés, adhérence et densité pour la distance $|x - y|$, caractérisation séquentielle des fermés, puis les deux théorèmes qui décrivent les parties remarquables de ${\mathbb R}$ : les connexes sont les intervalles, et les compacts sont les fermés bornés (Borel-Lebesgue). On y fixe aussi la notation ${S^n}$ de la sphère unité. Le chapitre se termine par le théorème de Tychonov, démontré par les ultrafiltres, qui rend compacts les cubes $[0, 1]^I$ ; c'est son seul recours au lemme de Zorn.