Caractérisation de la compacité par les ultrafiltres ⋆

(i) Soit $\mathcal F$ un filtre sur $X$ qui converge vers $x$ et vers $y \neq x$. Par séparation, il existe des ouverts disjoints $U \ni x$ et $V \ni y$ ; ce sont des voisinages de $x$ et de $y$, donc des éléments de $\mathcal F$, et $\varnothing = U \cap V$ appartiendrait à $\mathcal F$.

(ii) Sens direct. Soit $X$ compact et $\mathcal U$ un ultrafiltre sur $X$ ; supposons qu'il ne converge vers aucun point. Soit $\mathcal O$ l'ensemble des ouverts de $X$ qui n'appartiennent pas à $\mathcal U$.

Tout point $x$ a un voisinage $V \notin \mathcal U$, et un ouvert $O$ tel que $x \in O \subset V$ ; cet ouvert n'appartient pas à $\mathcal U$, sans quoi $V$ lui appartiendrait. Ainsi $\mathcal O$ recouvre $X$, sans qu'on ait eu à choisir un ouvert pour chaque point.

Par compacité, des ouverts $O_1, \dots, O_n \in \mathcal O$ recouvrent $X$, avec $n \geqslant 1$ puisque $X \in \mathcal U$ et $\varnothing \notin \mathcal U$ entraînent $X \neq \varnothing$. Chaque $X \setminus O_k$ appartient à $\mathcal U$ (Lemme de l'ultrafiltre, (i)), donc aussi leur intersection, par $n - 1$ applications de l'axiome (b) des filtres : $$\bigcap_{k = 1}^{n} (X \setminus O_k) = X \setminus \bigcup_{k=1}^{n} O_k = \varnothing,$$ ce qui contredit $\varnothing \notin \mathcal U$.

Réciproque. Supposons que tout ultrafiltre sur $X$ converge, et soit $\mathcal C$ un recouvrement de $X$ par des ouverts dont aucune sous-famille finie ne recouvre $X$. La famille $\mathcal C$ n'est pas vide, sans quoi $X$, réunion vide, serait vide et recouvert par la sous-famille vide.

Soit $\mathcal F$ l'ensemble des parties $B \subset X$ qui contiennent une intersection $$\begin{aligned} &(X \setminus C_1) \cap \dots \cap (X \setminus C_n) \\ &\quad = X \setminus (C_1 \cup \dots \cup C_n), \end{aligned}$$ avec $n \geqslant 1$ et $C_1, \dots, C_n \in \mathcal C$.

C'est un filtre. Il contient $X$, puisque $\mathcal C$ a au moins un élément, et pas $\varnothing$, puisque aucune réunion finie d'éléments de $\mathcal C$ n'est égale à $X$. L'intersection de deux de ses éléments en contient une intersection du même type, formée des deux listes mises bout à bout, et (c) est immédiat.

Le lemme de l'ultrafiltre (Lemme de l'ultrafiltre, (v)) fournit un ultrafiltre $\mathcal U \supset \mathcal F$, qui converge par hypothèse vers un point $x$. Ce point appartient à un élément $C$ de $\mathcal C$.

Comme $C$ est un ouvert contenant $x$, c'est un voisinage de $x$, et $C \in \mathcal U$. Mais $X \setminus C \in \mathcal F \subset \mathcal U$, si bien que $\varnothing = C \cap (X \setminus C) \in \mathcal U$ : contradiction. Le recouvrement $\mathcal C$ a donc un sous-recouvrement fini, et $X$, séparé par hypothèse, est compact.