Parties compactes de ℝ

Les deux formes de la définition coïncident : si $m \leqslant x \leqslant M'$ pour tout $x$ de la partie, elle est contenue dans $[-M, M]$ avec $M = \max(|m|, |M'|)$, et réciproquement $[-M, M]$ est majoré et minoré.

(i) Soit $K$ compacte. Elle est fermée, comme partie compacte de l'espace séparé $\mathbb R$ (Parties compactes, (ii)). Les ouverts $]{-n}, n[$, pour $n \geqslant 1$, recouvrent $\mathbb R$, puisque tout réel $x$ vérifie $|x| < n$ pour un entier $n$ par la propriété d'Archimède.

Si $K$ est vide, elle est bornée. Sinon, une sous-famille finie, non vide, recouvre $K$ ; si $N$ est son plus grand indice, $K \subset \,]{-N}, N[$, et $K$ est bornée.

Réciproquement, soit $K$ fermée et bornée, contenue dans $[-M, M]$. Ce segment est compact (Borel-Lebesgue).

Comme $K = K \cap [-M, M]$, la partie $K$ est fermée dans $[-M, M]$ pour la topologie induite, donc compacte (Parties compactes, (i)) ; et la topologie que $[-M, M]$ induit sur $K$ est celle que $\mathbb R$ induit, puisque $(O \cap [-M, M]) \cap K = O \cap K$.

(ii) Soit $K$ compacte non vide. Elle est majorée par (i), et $\sup K \in \overline K = K$ (Adhérence, intérieur, (iv)) : c'est le plus grand élément de $K$. Le plus petit s'obtient de même avec la borne inférieure.

(iii) L'image $f(K)$ est une partie compacte non vide de l'espace séparé $\mathbb R$ (Parties compactes, (iii)). Par (i), elle est bornée, et par (ii), elle a un plus grand et un plus petit élément, qui sont des valeurs de $f$.