Proposition 1Analyse fonctionnelle

Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables

Énoncé

(i) Pour tout ensemble $X$ , l'espace ${\mathcal B}(X)$ des fonctions bornées $X \to {\mathbb R}$ , muni de $\|f\|_\infty = \sup_X |f|$ , est un espace de Banach.

(ii) Si $K$ est un espace compact, l'espace ${C}(K)$ des fonctions continues $K \to \mathbb R$ est un sous-espace fermé de $\mathcal B(K)$ , donc un espace de Banach. En particulier, si des fonctions continues $f_k$ vérifient $\|f_k - f\|_\infty \to 0$ , la fonction $f$ est continue.

(iii) L'espace ${\ell^1}$ des suites réelles $(a_n)$ telles que $\|a\|_1 = \sum_n |a_n| < +\infty$ est un espace de Banach.

Démonstration

(i) Si $(f_k)$ est de Cauchy pour $\|\cdot\|_\infty$ , chaque suite $(f_k(x))$ est de Cauchy dans $\mathbb R$ et converge (Complétude) vers $f(x)$ .

(ii) Une fonction continue sur un compact a une image compacte, donc bornée (Parties compactes, Topologie de ℝ).

Soit $f$ adhérente à $C(K)$ , $a \in K$ et $\varepsilon > 0$ . La boule $B(f, \varepsilon)$ rencontre $C(K)$ : il existe $g$ continue avec $\|f - g\|_\infty < \varepsilon$ , et un voisinage $V$ de $a$ sur lequel $|g(x) - g(a)| < \varepsilon$ ; sur $V$ , $|f(x) - f(a)| < 3\varepsilon$ . Donc $f$ est continue : $C(K)$ est fermé, et l'on conclut par Espaces normés, (iv), dont la démonstration n'utilise que le sens direct de (i).

(iii) $\ell^1$ est un espace vectoriel normé, par l'inégalité triangulaire terme à terme. Si $(a^k)$ est de Cauchy, chaque coordonnée l'est, de limite $a_n$ .

Pour $\varepsilon > 0$ , soit $K$ tel que $\|a^k - a^l\|_1 \leqslant \varepsilon$ pour $k, l \geqslant K$ . Pour $N$ fixé et $k \geqslant K$ , on a $\begin{aligned} \sum_{n < N} |a^k_n - a_n| &= \lim_l \sum_{n < N} |a^k_n - a^l_n| \\ &\leqslant \varepsilon ; \end{aligned}$ en passant à la borne supérieure sur $N$ , $\|a^k - a\|_1 \leqslant \varepsilon$ , d'où $a \in \ell^1$ et $a^k \to a$ .

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Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que tout espace naturel de fonctions est complet. L'espace des fonctions continues sur $[0, 1]$ , muni de $\int_0^1 |f|$ , ne l'est pas : les fonctions affines par morceaux qui valent $0$ sur $[0, \frac12 - \frac1n]$ et $1$ sur $[\frac12, 1]$ forment une suite de Cauchy dont la « limite » serait l'indicatrice de $[\frac12, 1]$ , qui n'est pas continue.

Les rampes

f_3

f_4

f_6

f_{12}

montent de

0

1

sur

[\frac12 - \frac1n, \frac12]

; l'aire comprise entre

f_n

f_m

vaut

\frac12\big|\frac1n - \frac1m\big|

, soit

\frac1{12}

pour

f_3

f_6

, et tend vers

0

. La « limite », en rouge, saute de

0

1

\frac12

et n'est donc pas continue.

Le complété de cet espace est $L^1$ (Espaces L¹ et L²).

Remarque

Sur l'espace $C(K)$ d'un espace métrique compact, les formes linéaires positives sont exactement les intégrales contre les mesures boréliennes finies : c'est le théorème de Riesz-Markov, démontré au chapitre Théorème de Riesz-Markov. Pour $K = [0, 1]$ , l'intégrale de Riemann y redonne la mesure de Lebesgue.

Remarque

Les parties compactes et les parties denses de $C(K)$ font l'objet du chapitre Espaces de fonctions continues : pour $K$ métrique compact, une partie est d'adhérence compacte si et seulement si elle est bornée et équicontinue (Ascoli), et une sous-algèbre qui sépare les points et contient les constantes est dense (Stone-Weierstrass), ce qui donne la densité des polynômes dans $C([0, 1])$ .

Repose sur

Espaces vectoriels normés et espaces de Banach

Sert à

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