ATLAS
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Espaces de fonctions continues ⋆
Le théorème d'Ascoli, sous la forme « une partie précompacte de a une adhérence compacte », choisit un réseau fini pour chaque rayon : c'est le choix dénombrable. Sa forme séquentielle, par laquelle on l'applique, ne fait aucun choix, les réseaux étant pris parmi les termes de la suite, au plus petit indice. Les théorèmes de Dini, de Weierstrass et de Stone-Weierstrass sont démontrés sans choix : la démonstration de Weierstrass par les polynômes de Bernstein n'emploie aucun recouvrement, et les recouvrements des autres sont indexés par des entiers (Dini) ou par toutes les fonctions qui conviennent (lemme des treillis), jamais par un objet choisi en chaque point, et l'on n'en retient qu'un nombre fini. La séparabilité de pour un compact métrique quelconque utilise le choix dénombrable, et elle n'est pas démontrable dans .
Sur un espace compact , l'espace des fonctions continues, muni de la norme uniforme, est un espace de Banach. Le chapitre en décrit les parties compactes et les parties denses.
Après la convergence uniforme et le théorème de Dini, l'équicontinuité conduit au théorème d'Ascoli : pour métrique compact, une partie de est d'adhérence compacte si et seulement si elle est bornée et équicontinue, et toute suite bornée et équicontinue a une suite extraite uniformément convergente. Le théorème de Peano, en équations différentielles, en est l'application classique.
Les polynômes de Bernstein donnent le théorème de Weierstrass avec une estimation explicite de l'erreur. Le lemme des treillis et l'approximation de par des polynômes donnent le théorème de Stone-Weierstrass : une sous-algèbre de qui sépare les points et qui, en chaque point, contient une fonction non nulle est dense. Il en découle la densité des polynômes de plusieurs variables sur un compact de , et celle des fonctions lipschitziennes, puis la séparabilité de .