Théorème de Dini

(i) Soit $\varepsilon > 0$. Les ensembles $$U_n = \{x \in K : f(x) - f_n(x) < \varepsilon\}$$ sont ouverts, puisque $f - f_n$ est continue, et croissants, puisque $f - f_{n+1} \leqslant f - f_n$.

Ils recouvrent $K$, puisque $f_n(x) \to f(x)$ pour chaque $x$. Un nombre fini d'entre eux suffit, et le plus grand indice $N$ de ce nombre fini donne $U_N = K$ ; si $K$ est vide, $N = 0$ convient.

Pour $n \geqslant N$ et $x \in K$, on a donc $0 \leqslant f(x) - f_n(x) \leqslant f(x) - f_N(x) < \varepsilon$, la positivité venant de la croissance de la suite $(f_n(x))$, qui tend vers $f(x)$ (Limite monotone). Pour une suite décroissante, on applique ce qui précède à $(-f_n)$.

(ii) Fixons $t \in [0, 1]$ et montrons par récurrence que $0 \leqslant p_n(t) \leqslant \sqrt t$, ce qui est vrai pour $n = 0$. Si c'est vrai au rang $n$, alors $t - p_n(t)^2 \geqslant 0$, donc $p_{n+1}(t) \geqslant p_n(t) \geqslant 0$, et $$\begin{aligned} &\sqrt t - p_{n+1}(t) \\ &\quad = \big(\sqrt t - p_n(t)\big) \\ &\qquad - \tfrac12\big(\sqrt t - p_n(t)\big)\big(\sqrt t + p_n(t)\big) \\ &\quad = \big(\sqrt t - p_n(t)\big)\Big(1 - \frac{\sqrt t + p_n(t)}{2}\Big), \end{aligned}$$ qui est positif, puisque $\sqrt t + p_n(t) \leqslant 2\sqrt t \leqslant 2$.

La suite $(p_n(t))$ est croissante et majorée : elle converge vers un réel $\ell \in [0, \sqrt t]$ (Limite monotone). En passant à la limite dans la relation de récurrence (Opérations sur les limites), $t - \ell^2 = 0$, et $\ell = \sqrt t$ par l'unicité de la racine carrée positive (Espaces métriques, (i)).

Par récurrence encore, $p_n$ est une fonction polynomiale nulle en $0$. La fonction $t \mapsto \sqrt t$ est continue sur $[0, 1]$, comme réciproque de la bijection continue strictement croissante $s \mapsto s^2$ de $[0, 1]$ sur lui-même (Bijection continue). Le segment $[0, 1]$ étant compact (Borel-Lebesgue), (i) donne la convergence uniforme.

Enfin $|s| = \sqrt{s^2}$, et, quand $s$ parcourt $[-1, 1]$, $s^2$ parcourt $[0, 1]$ : la borne supérieure de $\big||s| - q_n(s)\big|$ sur $[-1, 1]$ est celle de $|\sqrt t - p_n(t)|$ sur $[0, 1]$. La fonction $q_n$ est polynomiale, et $q_n(0) = p_n(0) = 0$.