Théorème de Stone-Weierstrass

(i) $\bar A$ est un sous-espace vectoriel (Espaces normés, (ii)). Soient $f, g \in \bar A$ et $\varepsilon > 0$, et $\eta \in \,]0, 1]$ tel que $\eta(\|f\|_\infty + \|g\|_\infty + 1) < \varepsilon$. Les boules de rayon $\eta$ centrées en $f$ et en $g$ rencontrent $A$ (Topologie d'une distance, (ii)) en des fonctions $f'$ et $g'$, et $$\begin{aligned} &\|fg - f'g'\|_\infty \\ &\quad \leqslant \|f\|_\infty\|g - g'\|_\infty + \|g'\|_\infty\|f - f'\|_\infty \\ &\quad < \eta\|f\|_\infty + (\|g\|_\infty + 1)\eta < \varepsilon. \end{aligned}$$ Toute boule centrée en $fg$ rencontre $A$ : $fg \in \bar A$.

Soit $f \in \bar A$, $M = \|f\|_\infty + 1$ et $\varepsilon > 0$. Par le théorème de Weierstrass (Théorème de Weierstrass, (iii)), il existe une fonction polynomiale $Q(t) = \sum_{k=1}^d q_k t^k$, sans terme constant, telle que $\big||t| - Q(t)\big| \leqslant \varepsilon$ sur $[-M, M]$.

La fonction $\sum_{k=1}^d q_k f^k$ appartient à la sous-algèbre $\bar A$, sans qu'il faille y supposer les constantes, et elle est à distance au plus $\varepsilon$ de $|f|$, puisque $f$ prend ses valeurs dans $[-M, M]$. Ainsi $|f|$ est adhérente à $\bar A$, qui est fermée : $|f| \in \bar A$. Enfin $$\begin{gathered} \max(f, g) = \frac{f + g + |f - g|}2, \\ \min(f, g) = \frac{f + g - |f - g|}2. \end{gathered}$$

(ii) Soient $x \neq y$. L'ensemble $V = \{(g(x), g(y)) : g \in A\}$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb R^2}$, stable par le produit coordonnée par coordonnée. Supposons $V \neq \mathbb R^2$ : il est de dimension au plus $1$ (Dimension), et non nul, puisqu'une fonction de $A$ ne s'annule pas en $x$. C'est donc la droite engendrée par un vecteur $(\alpha, \beta) \neq (0, 0)$.

Le produit $(\alpha^2, \beta^2)$ appartient à $V$ : il existe un réel $\lambda$ tel que $\alpha^2 = \lambda\alpha$ et $\beta^2 = \lambda\beta$. Si $\alpha = 0$, toutes les fonctions de $A$ s'annulent en $x$ ; si $\beta = 0$, en $y$ ; sinon $\alpha = \lambda = \beta$, et toutes prennent la même valeur en $x$ et en $y$. Les trois cas sont exclus : $V = \mathbb R^2$.

Pour un seul point $x$, l'ensemble $\{g(x) : g \in A\}$ est un sous-espace non nul de $\mathbb R$, donc $\mathbb R$.

(iii) Si $K$ est vide, il n'y a rien à démontrer. Sinon, par (i), $\bar A$ est un treillis de fonctions, et il interpole en deux points par (ii), puisqu'il contient $A$. Par le lemme des treillis (Lemme des treillis), $\bar A$ est dense dans $C(K)$ ; comme il est fermé, il est égal à $C(K)$. Si $A$ contient les constantes, la fonction $1$ ne s'annule nulle part.

(iv) L'évaluation $f \mapsto f(x_0)$ est $1$-lipschitzienne, donc continue, et $\{f : f(x_0) = 0\}$ est un fermé qui contient $A$, donc $\bar A$.

Réciproquement, l'ensemble $B$ des fonctions $g + c$, avec $g \in A$ et $c$ constante, est une sous-algèbre qui contient les constantes et sépare les points. Soit $f$ continue, nulle en $x_0$, et $\varepsilon > 0$. Par (iii), il existe $g \in A$ et un réel $c$ tels que $\|f - g - c\|_\infty < \varepsilon$ ; en $x_0$, on obtient $|c| < \varepsilon$, d'où $\|f - g\|_\infty < 2\varepsilon$. Ainsi $f \in \bar A$.