Proposition 1Espaces métriques et normés

Topologie associée à une distance

Énoncé

Soit $(X, d)$ un espace métrique.

(i) Les boules ouvertes forment la base d'une topologie sur $X$ , dite associée à $d$ : une partie $O$ est ouverte si et seulement si, pour tout $a \in O$ , il existe $r > 0$ tel que $B(a, r) \subset O$ . Cette topologie est séparée, et toute boule fermée est fermée.

(ii) Une partie $V$ est un voisinage de $a$ si et seulement si elle contient une boule $B(a, r)$ . Un point $a$ est adhérent à $A$ si et seulement si toute boule $B(a, r)$ rencontre $A$ .

(iii) Sur une partie $A$ , la topologie associée à la distance induite est la topologie induite.

(iv) Soit $f : X \to Y$ , où $(Y, d')$ est un espace métrique, et $a \in X$ . L'application $f$ est continue en $a$ si et seulement si $\begin{gathered} \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in X, \\ d(x, a) < \delta \ \Longrightarrow\ d'(f(x), f(a)) < \varepsilon. \end{gathered}$ Une application $k$ -lipschitzienne, c'est-à-dire telle que $d'(f(x), f(y)) \leqslant k\, d(x, y)$ pour tous $x, y$ , est continue ; c'est le cas de $x \mapsto d(x, z)$ , pour $z$ fixé, avec $k = 1$ .

(v) Si deux distances $d$ et $d'$ sur $X$ vérifient $\alpha d \leqslant d' \leqslant \beta d$ avec $\alpha, \beta > 0$ , elles définissent la même topologie et les mêmes parties bornées.

Démonstration

(i) Les boules recouvrent $X$ , puisque $a \in B(a, 1)$ . Si $x \in B(a, r) \cap B(b, s)$ , posons $t = \min\big(r - d(a, x),\, s - d(b, x)\big) > 0 :$ pour $z \in B(x, t)$ , $d(a, z) \leqslant d(a, x) + d(x, z) < r$ , et de même $d(b, z) < s$ , donc $B(x, t) \subset B(a, r) \cap B(b, s)$ . Les deux conditions du nœud Bases d'une topologie sont remplies.

Dans le plan muni de

d_2

, le point

x

est à distance

\frac52

a

\frac{13}{10}

b

. La boule rouge de centre

x

et de rayon

t = \min\big(3 - \frac52,\, \frac52 - \frac{13}{10}\big) = \frac12

tient dans les deux boules, et touche le bord de

B(a, 3)

au bout du rayon pointillé issu de

a

: c'est le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire.

Si $O$ est une réunion de boules et $a \in O$ , alors $a \in B(b, s) \subset O$ pour une boule, et le calcul précédent donne $B(a, s - d(a, b)) \subset B(b, s)$ . Réciproquement, si la condition est remplie, $O$ est la réunion de toutes les boules qu'il contient.

Si $x \neq y$ , les boules de rayon $r = d(x, y)/2 > 0$ centrées en $x$ et en $y$ sont disjointes : un point $z$ commun donnerait $d(x, y) \leqslant d(x, z) + d(z, y) < 2r$ .

Enfin, si $d(a, x) > r$ , la boule $B(x, d(a, x) - r)$ ne rencontre pas $\bar B(a, r)$ , puisque $d(a, z) \geqslant d(a, x) - d(x, z) > r$ pour chacun de ses points $z$ : le complémentaire de $\bar B(a, r)$ est ouvert.

(ii) Par (i), un ouvert contenant $a$ contient une boule $B(a, r)$ , et une boule est un ouvert ; la caractérisation des voisinages s'en déduit, puis celle de l'adhérence par le nœud Intérieur, adhérence, (iii).

(iii) Pour $a \in A$ , la boule de $A$ de centre $a$ et de rayon $r$ est $B(a, r) \cap A$ . Si $O$ est ouvert dans $X$ et $a \in O \cap A$ , une boule $B(a, r) \subset O$ donne $B(a, r) \cap A \subset O \cap A$ : la trace $O \cap A$ est ouverte pour la distance induite.

Réciproquement, si $U \subset A$ est ouvert pour la distance induite, soit $O$ la réunion de toutes les boules $B(a, r)$ de $X$ telles que $a \in U$ et $B(a, r) \cap A \subset U$ . C'est un ouvert de $X$ , et $O \cap A = U$ , puisque tout point de $U$ est le centre d'une telle boule.

(iv) Par (ii), appliqué dans $X$ et dans $Y$ , la continuité en $a$ au sens du nœud Applications continues demande que chaque $f^{-1}\big(B(f(a), \varepsilon)\big)$ contienne une boule $B(a, \delta)$ : c'est exactement la condition écrite.

Si $f$ est $k$ -lipschitzienne, $\delta = \varepsilon/(k + 1)$ convient ; pour $x \mapsto d(x, z)$ , c'est l'inégalité $|d(x, z) - d(y, z)| \leqslant d(x, y)$ du nœud Espaces métriques, (iii).

(v) Si $d'(a, x) < \alpha r$ , alors $d(a, x) \leqslant d'(a, x)/\alpha < r$ : la boule de $d'$ de rayon $\alpha r$ est contenue dans celle de $d$ de rayon $r$ , et de même la boule de $d$ de rayon $r/\beta$ est contenue dans celle de $d'$ de rayon $r$ . Par la caractérisation (i), les ouverts sont les mêmes.

Une boule de $d$ de rayon $r$ est contenue dans la boule de $d'$ de même centre et de rayon $\beta r$ , et inversement avec $1/\alpha$ .

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Remarque

Aucun choix n'intervient dans (i) ni dans (iii) : un ouvert est la réunion de toutes les boules qu'il contient, sans qu'on ait à en désigner une par point, comme au nœud Voisinages.

Remarque

Pour $X = {\mathbb R}$ muni de $|x - y|$ , la topologie associée est la topologie usuelle de ℝ du nœud Ouverts de ℝ, et (iv) redonne la définition de la continuité du nœud Continuité en un point. Les deux notions de continuité, topologique et métrique, coïncident donc, ce qui permet d'employer l'une ou l'autre dans toute la suite.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que le caractère borné d'une partie est une propriété topologique. Sur $\mathbb R$ , $d'(x, y) = \min(|x - y|, 1)$ est une distance, puisque $\min(a + b, 1) \leqslant \min(a, 1) + \min(b, 1)$ pour $a, b \geqslant 0$ .

Ses boules de rayon $r \leqslant 1$ sont celles de $|x - y|$ , si bien qu'elle définit la même topologie ; pourtant $\mathbb R$ tout entier est contenu dans la boule $B'(0, 2)$ . Aucune inégalité $|x - y| \leqslant \beta d'(x, y)$ n'est possible, et (v) ne s'applique pas.

Repose sur

Distances et boules

Sert à

Suites, adhérence et continuité dans un espace métrique Lemme du nombre de Lebesgue