Lemme du nombre de Lebesgue

Pour $x \in K$, l'ensemble $R_x$ des $r \in \,]0, 1]$ tels que $B(x, r)$ soit contenue dans un élément de $\mathcal U$ est non vide : $x$ appartient à un ouvert $U \in \mathcal U$, qui contient une boule $B(x, r)$ (Topologie d'une distance, (i)), et l'on peut prendre $r \leqslant 1$. Il est majoré par $1$, et $\rho(x) = \sup R_x \in \,]0, 1]$ existe (Borne supérieure).

$\rho$ est $1$-lipschitzienne. Soient $x, y \in K$. Si $d(x, y) < r$ avec $r \in R_x$, la boule $B(y, r - d(x, y))$ est contenue dans $B(x, r)$, par l'inégalité triangulaire, donc dans le même élément de $\mathcal U$, et $r - d(x, y) \in R_y$.

En passant à la borne supérieure sur ces $r$, $\rho(y) \geqslant \rho(x) - d(x, y)$, inégalité évidente si $d(x, y) \geqslant \rho(x)$. Par symétrie, $|\rho(x) - \rho(y)| \leqslant d(x, y)$.

Conclusion. $\rho$ est continue (Topologie d'une distance, (iv)), et $K$ est compact non vide : elle atteint son minimum $m$ en un point $x_0$ (Compacts de ℝ, (iii)), et $m = \rho(x_0) > 0$.

Soit $A \subset K$ non vide de diamètre $\delta < m$, et $x \in A$. Comme $\rho(x) \geqslant m > \delta$, il existe $r \in R_x$ avec $r > \delta$, par définition de la borne supérieure ; alors $A \subset B(x, r)$, puisque $d(x, y) \leqslant \delta$ pour $y \in A$, et $B(x, r)$ est contenue dans un élément de $\mathcal U$. Ainsi $m$ est un nombre de Lebesgue.