Théorème 2Espaces métriques et normés

Théorème de Heine sur un compact métrique

Énoncé

Soient $K$ un espace métrique compact, $(Y, d')$ un espace métrique et $f : K \to Y$ continue. Alors $f$ est uniformément continue : $\begin{aligned} &\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x, x' \in K, \\ &\quad d(x, x') < \delta \ \Longrightarrow \\ &\qquad d'(f(x), f(x')) < \varepsilon. \end{aligned}$

Démonstration

Si $K$ est vide, il n'y a rien à démontrer. Soit $\varepsilon > 0$ . Les ouverts $f^{-1}\big(B(y, \varepsilon/2)\big)$ , pour $y \in Y$ , recouvrent $K$ , puisque $x \in f^{-1}\big(B(f(x), \varepsilon/2)\big)$ , et ils sont ouverts par continuité.

Soit $\delta$ un nombre de Lebesgue de ce recouvrement (Nombre de Lebesgue). Si $d(x, x') < \delta$ , la partie $\{x, x'\}$ est de diamètre $< \delta$ , donc contenue dans un $f^{-1}\big(B(y, \varepsilon/2)\big)$ , et $\begin{aligned} &d'(f(x), f(x')) \\ &\quad \leqslant d'(f(x), y) + d'(y, f(x')) \\ &\quad < \varepsilon. \end{aligned}$

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Remarque

Le nœud Théorème de Heine traite le cas d'un segment par la borne supérieure, sans choix ; la démonstration séquentielle usuelle, qu'il rappelle en remarque, utilise le choix dénombrable. Celle-ci, valable sur tout compact métrique, n'en fait aucun non plus : le théorème de Heine est démontrable dans $\mathsf{ZF}$ , le segment étant compact par le théorème de Borel-Lebesgue, lui aussi démontré sans choix.

Remarque

La compacité ne peut pas être omise. Sur $]0, 1]$ , la fonction $x \mapsto \frac1x$ est continue, mais $\frac1x - \frac1{2x} = \frac1{2x}$ dépasse $1$ dès que $x < \frac12$ , bien que $|x - 2x| = x$ soit aussi petit qu'on veut.

Repose sur

Lemme du nombre de Lebesgue

Sert à

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