Proposition 2Espaces métriques et normés

Suites, adhérence et continuité dans un espace métrique ⋆

⋆ Axiome du choix

Les réciproques de (ii), de (iii) et de (iv) choisissent un terme dans chacun des ensembles non vides $A \cap B(x, \frac1{n+1})$ : elles utilisent le choix dénombrable. On ne peut pas s'en passer, même dans $\mathbb R$ (Herrlich et Strecker, 1997, cités au nœud Fermés et suites). Le point (i) et les sens directs de (ii), de (iii) et de (iv) n'utilisent aucun choix.

Une suite $(x_n)$ d'éléments d'un espace métrique $(X, d)$ converge vers $\ell \in X$ si la suite réelle $d(x_n, \ell)$ tend vers $0$ : pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $N$ tel que $d(x_n, \ell) < \varepsilon$ pour $n \geqslant N$ . C'est la limite du chapitre Suites et limites, la distance remplaçant la valeur absolue.

Énoncé

(i) La suite $(x_n)$ converge vers $\ell$ si et seulement si tout voisinage de $\ell$ contient les $x_n$ à partir d'un certain rang. La limite, si elle existe, est unique, et toute suite extraite d'une suite convergente converge vers la même limite.

(ii) Si une suite d'éléments de $A$ converge vers $x$ , alors $x \in \overline A$ . Réciproquement, tout point de $\overline A$ est la limite d'une suite d'éléments de $A$ .

(iii) Une partie $A$ est fermée si et seulement si la limite de toute suite convergente d'éléments de $A$ appartient à $A$ .

(iv) Soit $f : X \to Y$ entre espaces métriques et $a \in X$ . Si $f$ est continue en $a$ , alors $f(x_n) \to f(a)$ pour toute suite $x_n \to a$ . Réciproquement, cette propriété entraîne la continuité en $a$ .

Démonstration

(i) Un voisinage de $\ell$ contient une boule $B(\ell, \varepsilon)$ (Topologie d'une distance, (ii)), et une boule est un voisinage. Si $x_n \to \ell$ et $x_n \to \ell'$ , alors $d(\ell, \ell') \leqslant d(\ell, x_n) + d(x_n, \ell')$ tend vers $0$ , donc $\ell = \ell'$ .

Pour une suite extraite, $\varphi(n) \geqslant n$ (Suites extraites), donc $d(x_{\varphi(n)}, \ell) < \varepsilon$ dès que $n \geqslant N$ .

(ii) Si $a_n \to x$ et $r > 0$ , il existe $N$ tel que $a_N \in B(x, r)$ , et cette boule rencontre $A$ : $x \in \overline A$ par Topologie d'une distance, (ii).

Réciproquement, si $x \in \overline A$ , chaque ensemble $A \cap B(x, \frac1{n+1})$ est non vide ; on y choisit $a_n$ . Pour $\varepsilon > 0$ , la propriété d'Archimède fournit $N$ tel que $\frac1{N+1} < \varepsilon$ , et $d(a_n, x) < \varepsilon$ pour $n \geqslant N$ .

(iii) Si $A$ est fermée et si $a_n \to x$ avec $a_n \in A$ , alors $x \in \overline A = A$ par (ii). Réciproquement, si la condition est remplie, tout point de $\overline A$ est limite d'une suite de $A$ par la réciproque de (ii), donc appartient à $A$ : $\overline A \subset A$ .

(iv) Si $f$ est continue en $a$ , soit $\varepsilon > 0$ et $\delta$ associé par Topologie d'une distance, (iv) ; il existe $N$ tel que $d(x_n, a) < \delta$ pour $n \geqslant N$ , et alors $d(f(x_n), f(a)) < \varepsilon$ .

Si $f$ n'est pas continue en $a$ , il existe $\varepsilon > 0$ tel que chaque ensemble $\begin{aligned} \{x :{} &d(x, a) < \frac1{n+1}, \\ &d(f(x), f(a)) \geqslant \varepsilon\} \end{aligned}$ soit non vide ; un $x_n$ choisi dans chacun tend vers $a$ , sans que $f(x_n)$ tende vers $f(a)$ .

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Remarque

Ce sont, pour un espace métrique quelconque, les énoncés des nœuds Fermés et suites et Caractérisation séquentielle, écrits pour $\mathbb R$ . Comme là, le sens direct de (iii), « un fermé contient les limites de ses suites convergentes », est le plus employé, et il ne demande aucun choix.

Remarque

Dans un espace topologique quelconque, les suites ne suffisent pas en général à décrire l'adhérence, même avec l'axiome du choix. C'est une raison de préférer, quand on le peut, les arguments par recouvrements, comme celui du nombre de Lebesgue (Nombre de Lebesgue).

Repose sur

Topologie associée à une distance

Sert à

Suites de Cauchy et espaces complets