Lemme 2Espaces de fonctions continues

Approximation par un treillis de fonctions

Soit $K$ un espace compact non vide. Une partie $L$ de $C(K)$ est un treillis de fonctions si $\max(f, g)$ et $\min(f, g)$ appartiennent à $L$ dès que $f$ et $g$ y appartiennent ; par récurrence, $L$ contient alors le maximum et le minimum de toute famille finie non vide de ses éléments.

Énoncé

Soit $L$ un treillis de fonctions de $C(K)$ qui interpole en deux points : pour tous $x, y \in K$ et tous réels $a, b$ , avec $a = b$ si $x = y$ , il existe $h \in L$ telle que $h(x) = a$ et $h(y) = b$ . Alors $L$ est dense dans $C(K)$ : pour toute $f \in C(K)$ et tout $\varepsilon > 0$ , il existe $g \in L$ telle que $\|f - g\|_\infty < \varepsilon$ .

Démonstration

Soit $f \in C(K)$ et $\varepsilon > 0$ .

Étape 1 : pour tout $x \in K$ , il existe $\varphi \in L$ telle que $\varphi(x) = f(x)$ et $\varphi > f - \varepsilon$ sur $K$ . Fixons $x$ , et considérons la famille $\mathcal V_x$ des ouverts $V_h = \{z \in K : h(z) > f(z) - \varepsilon\},$ pour toutes les $h \in L$ telles que $h(x) = f(x)$ . Ce sont des ouverts, puisque $h - f$ est continue.

Ils recouvrent $K$ : pour $y \in K$ , il existe $h \in L$ telle que $h(x) = f(x)$ et $h(y) = f(y)$ , et $y \in V_h$ . Par compacité, $K$ est la réunion d'un nombre fini d'entre eux, $V_{h_1}, \dots, V_{h_m}$ , et $\varphi = \max(h_1, \dots, h_m)$ convient : $\varphi(x) = f(x)$ , et tout point $z$ appartient à un $V_{h_j}$ , où $\varphi(z) \geqslant h_j(z) > f(z) - \varepsilon$ .

Étape 2. Considérons la famille des ouverts $W_\varphi = \{z \in K : \varphi(z) < f(z) + \varepsilon\},$ pour toutes les $\varphi \in L$ telles que $\varphi > f - \varepsilon$ sur $K$ . Par l'étape 1, chaque point $x$ appartient à l'un d'eux. Un nombre fini, $W_{\varphi_1}, \dots, W_{\varphi_q}$ , recouvre $K$ , et $g = \min(\varphi_1, \dots, \varphi_q) \in L$ vérifie $f - \varepsilon < g < f + \varepsilon$ en tout point.

Ici

L

est le treillis des fonctions continues affines par morceaux sur

[0, 1]

, et

\varepsilon = 0{,}1

. En haut, l'étape 1 pour

x = 0{,}3

: trois fonctions affines (bleu) passent par le point

(x, f(x))

, et chacune par un autre point du graphe de

f

(noir) ; leur maximum

\varphi

(rouge) reste au-dessus de

f - \varepsilon

(pointillé gris) sur tout le segment, et vaut

f(x)

x

. En bas, l'étape 2 : trois telles fonctions

\varphi

(bleu), construites en

x = 0

0{,}2

1

, et leur minimum

g

(rouge), qui reste entre

f - \varepsilon

f + \varepsilon

La fonction continue $|f - g|$ atteint son maximum sur le compact $K$ (Parties compactes, (iii), et Compacts de ℝ, (iii)), qui est donc $< \varepsilon$ .

□

Remarque

Aucun choix infini n'intervient. Les recouvrements sont indexés par toutes les fonctions de $L$ qui conviennent, et non par une fonction choisie pour chaque point, ce qui serait une infinité de choix. Seuls les $m$ ou $q$ éléments du sous-recouvrement fini sont désignés, en nombre fini.

Remarque

Le lemme dit qu'un treillis de fonctions est dense dès qu'il l'est « en deux points ». Le mécanisme est celui du dessin : le maximum relève la fonction partout au-dessus de $f - \varepsilon$ sans la modifier en $x$ , et le minimum la rabaisse partout au-dessous de $f + \varepsilon$ sans détruire la minoration. Les fonctions affines par morceaux continues sur $[0, 1]$ forment un tel treillis, et l'on retrouve leur densité dans $C([0, 1])$ .

Repose sur

Convergence uniforme sur un compact

Sert à

Théorème de Stone-Weierstrass