Définition 1Espaces de fonctions continues

Convergence uniforme sur un compact

Soit $K$ un espace compact et $p \geqslant 1$ un entier. On munit ${\mathbb R^p}$ de la norme $\|\cdot\|_\infty$ (Normes), et l'on note $C(K, \mathbb R^p)$ l'ensemble des applications continues de $K$ dans $\mathbb R^p$ , et $C(K) = C(K, \mathbb R)$ . Une application $f : K \to \mathbb R^p$ est continue si et seulement si ses $p$ coordonnées $f_1, \dots, f_p$ le sont, puisque la topologie de $\mathbb R^p$ est la topologie produit (Topologie produit). On pose $\|f\|_\infty = \sup_{x \in K} \|f(x)\|_\infty.$

Comme au nœud Convergence, une suite $(f_n)$ d'applications de $K$ dans $\mathbb R^p$ converge simplement vers $f$ si $f_n(x) \to f(x)$ pour tout $x \in K$ . Elle converge uniformément vers $f$ si $\sup_{x \in K} \|f_n(x) - f(x)\|_\infty$ tend vers $0$ : le même rang convient alors pour tous les points.

Énoncé

(i) Pour $f \in C(K, \mathbb R^p)$ , le nombre $\|f\|_\infty$ est fini, avec la convention $\|f\|_\infty = 0$ si $K$ est vide ; si $K$ n'est pas vide, c'est un maximum, égal à $\max_i \|f_i\|_\infty$ . C'est une norme sur l'espace vectoriel $C(K, \mathbb R^p)$ .

(ii) Une suite de $C(K, \mathbb R^p)$ converge vers $f$ pour cette norme si et seulement si elle converge uniformément vers $f$ ; elle converge alors simplement vers $f$ .

(iii) Si une suite de $C(K, \mathbb R^p)$ converge uniformément vers une application $f : K \to \mathbb R^p$ , alors $f$ est continue.

(iv) Muni de $\|\cdot\|_\infty$ , l'espace $C(K, \mathbb R^p)$ est un espace de Banach.

Démonstration

(i) Supposons $K$ non vide. L'application continue $x \mapsto \|f(x)\|_\infty$ (Topologie d'une distance, (iv)) envoie le compact $K$ sur une partie compacte de ${\mathbb R}$ (Parties compactes, (iii)), qui a un plus grand élément (Compacts de ℝ, (ii)) : la borne supérieure est atteinte. Comme $\|f(x)\|_\infty = \max_i |f_i(x)|$ , elle vaut $\max_i \|f_i\|_\infty$ .

Les sommes et les multiples de fonctions continues sont continus, et les axiomes de norme se vérifient en chaque point $x$ , avant de passer à la borne supérieure.

(ii) La première affirmation est la définition de la norme. Pour la seconde, $\|f_n(x) - f(x)\|_\infty \leqslant \|f_n - f\|_\infty$ en chaque point $x$ .

(iii) Soit $a \in K$ et $\varepsilon > 0$ . Soit $n$ tel que $\|f_n(x) - f(x)\|_\infty < \varepsilon$ pour tout $x \in K$ , et $V$ un voisinage de $a$ sur lequel $\|f_n(x) - f_n(a)\|_\infty < \varepsilon$ . Pour $x \in V$ , $\begin{aligned} &\|f(x) - f(a)\|_\infty \\ &\quad \leqslant \|f(x) - f_n(x)\|_\infty \\ &\qquad + \|f_n(x) - f_n(a)\|_\infty \\ &\qquad + \|f_n(a) - f(a)\|_\infty < 3\varepsilon : \end{aligned}$ l'image réciproque de toute boule $B(f(a), 3\varepsilon)$ est un voisinage de $a$ , et $f$ est continue en $a$ .

(iv) Soit $(f_n)$ une suite de Cauchy. Pour chaque $x$ , la suite $(f_n(x))$ est de Cauchy dans $\mathbb R^p$ , puisque $\|f_n(x) - f_m(x)\|_\infty \leqslant \|f_n - f_m\|_\infty$ ; elle converge vers un point $f(x)$ , $\mathbb R^p$ étant complet (L'espace ℝⁿ, (ii)).

Soit $\varepsilon > 0$ et $N$ tel que $\|f_n - f_m\|_\infty \leqslant \varepsilon$ pour $n, m \geqslant N$ . Pour $n \geqslant N$ et $x \in K$ , on fait tendre $m$ vers l'infini dans $\|f_n(x) - f_m(x)\|_\infty \leqslant \varepsilon$ , la norme étant continue : $\|f_n(x) - f(x)\|_\infty \leqslant \varepsilon$ .

La convergence est donc uniforme, $f$ est continue par (iii), et $\|f_n - f\|_\infty \leqslant \varepsilon$ pour $n \geqslant N$ : la suite converge dans $C(K, \mathbb R^p)$ .

□

Remarque

Pour $p = 1$ , on retrouve l'espace $C(K)$ du nœud Exemples d'espaces de Banach, vu comme sous-espace fermé de l'espace des fonctions bornées. Le point (iv) en redonne la complétude, et l'étend aux fonctions à valeurs vectorielles, dont les équations différentielles ont besoin : leurs solutions sont des applications d'un segment dans $\mathbb R^n$ (Théorème de Peano).

Remarque

L'erreur la plus répandue est de confondre les deux convergences. Sur $K = [0, 1]$ , les fonctions $f_n(x) = x^n$ convergent simplement vers la fonction nulle sur $[0, 1[$ et égale à $1$ en $1$ , qui n'est pas continue : par (iii), la convergence n'est pas uniforme.

Sur $[0, \frac12]$ , au contraire, $\sup |f_n| = 2^{-n}$ tend vers $0$ , et la convergence est uniforme. Ce qui se passe près de $1$ , où $f_n$ reste proche de $1$ sur un intervalle de plus en plus court, est l'objet du nœud Équicontinuité.

Remarque

Toute la suite du chapitre travaille dans l'espace de Banach $C(K, \mathbb R^p)$ : le théorème d'Ascoli y décrit les parties compactes, celui de Stone-Weierstrass, pour $p = 1$ , les parties denses.

Remarque

L'analyse complexe pose la même définition pour des fonctions à valeurs complexes sur une partie quelconque, et en tire la continuité de la limite et l'intégration terme à terme (Convergence uniforme). Les deux nœuds ne dépendent pas l'un de l'autre : chacun redémontre, dans son cadre, le point (iii), en trois lignes. Le lexique les distingue par deux entrées qui renvoient l'une à l'autre.

Repose sur

Espaces vectoriels normés et espaces de Banach

Sert à

Théorème de Dini Parties équicontinues Théorème d'approximation de Weierstrass Approximation par un treillis de fonctions