Proposition 2Analyse complexe

Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes

Une suite de fonctions $f_n : A \to {\mathbb C}$ converge uniformément vers $f$ si $\sup_{x \in A} |f_n(x) - f(x)| \to 0$ . Pour $h : [a, b] \to \mathbb C$ continue, on pose $\int_a^b h = \int_a^b \operatorname{Re} h + i \int_a^b \operatorname{Im} h$ , avec l'intégrale de Riemann (Intégrale de Riemann).

Énoncé

(i) Une limite uniforme de fonctions continues est continue.

(ii) Critère de Weierstrass. Si $|f_n(x)| \leqslant M_n$ pour tout $x \in A$ et si $\sum M_n$ converge, la série $\sum f_n$ converge uniformément sur $A$ .

(iii) L'intégrale est \mathbb C-linéaire, et $\big|\int_a^b h\big| \leqslant 2(b - a)\sup |h|$ . Par suite, si $h_n \to h$ uniformément sur $[a, b]$ , avec $h_n$ continues, alors $\int_a^b h_n \to \int_a^b h$ .

(iv) Si $F : [a, b] \to \mathbb C$ est dérivable de dérivée continue, $\int_a^b F' = F(b) - F(a)$ .

Démonstration

(ii) Pour chaque $x$ , la série converge absolument (Suites et séries complexes), et le reste vérifie $\big|\sum_{n > N} f_n(x)\big| \leqslant \sum_{n > N} M_n$ , qui tend vers $0$ indépendamment de $x$ .

(iii) La linéarité réelle vient de celle de l'intégrale de Riemann ; pour la multiplication par $i$ , $\int ih = \int (-\operatorname{Im} h) + i\int \operatorname{Re} h = i\int h$ .

Comme $|\operatorname{Re} h|, |\operatorname{Im} h| \leqslant |h|$ , la positivité de l'intégrale donne $\begin{aligned} \Big|\int h\Big| &\leqslant \Big|\int \operatorname{Re} h\Big| + \Big|\int \operatorname{Im} h\Big| \\ &\leqslant 2(b - a)\sup |h|. \end{aligned}$ On applique cette inégalité à $h_n - h$ .

(iv) On travaille sur la partie réelle et la partie imaginaire. La fonction $G(x) = \int_a^x F' - F(x)$ est dérivable de dérivée nulle (Théorème fondamental de l'analyse).

Une fonction réelle $g$ de dérivée nulle est constante : pour $x < y$ , la fonction $t \mapsto g(t) - g(x) - \frac{g(y) - g(x)}{y - x}(t - x)$ s'annule en $x$ et en $y$ , et le théorème de Rolle (Dérivabilité) fournit $c$ avec $0 = g'(c) = \frac{g(y) - g(x)}{y - x}$ . Donc $G(b) = G(a)$ .

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Remarque

Le facteur $2$ de (iii) est grossier, mais suffit ici. Une fois l'exponentielle construite, on obtiendra l'inégalité optimale $\big|\int h\big| \leqslant \int |h|$ (Intégrale curviligne).

Repose sur

Suites, séries et parties compactes de ℂ

Sert à

Séries entières et rayon de convergence