Théorie

Analyse complexe

Elle étudie les fonctions holomorphes, c'est-à-dire dérivables au sens complexe en tout point d'un ouvert de ${\mathbb C}$.

La formule de Cauchy entraîne qu'une fonction holomorphe est développable en série entière au voisinage de chaque point. Ce phénomène n'a pas d'équivalent en analyse réelle, où une fonction peut être dérivable une fois sans l'être deux.

L'exponentielle, construite en analyse réelle, y est prolongée à $\mathbb C$ par sa série entière, et la relation $\exp(it) = \cos t + i\sin t$ y relie les fonctions trigonométriques réelles à l'exponentielle complexe ; le théorème de Liouville y démontre que $\mathbb C$ est algébriquement clos.

Près d'un point isolé où elle n'est pas définie, une fonction holomorphe se développe en série de Laurent, dont le coefficient de $\frac{1}{z - a}$ est le résidu. Le théorème des résidus ramène à ces coefficients l'intégrale le long d'un lacet ; il donne le principe de l'argument, le théorème de Rouché, qui localise les racines d'un polynôme, et le calcul d'intégrales réelles.