Théorème 8Analyse complexe

Les fonctions holomorphes sont analytiques

Énoncé

Soit $f$ holomorphe sur $U$ et $\overline D(c, r) \subset U$ . Pour $|z - c| < r$ , $f(z) = \sum_{n \geqslant 0} c_n (z - c)^n,$ $c_n = \frac{1}{2i\pi}\int_{C(c,r)} \frac{f(w)}{(w - c)^{n+1}}\,dw,$ et $|c_n| \leqslant M r^{-n}$ , où $M = \sup_{C(c,r)} |f|$ (inégalités de Cauchy). En particulier, $f'$ est holomorphe, et $f$ est indéfiniment dérivable. Les coefficients sont $c_n = f^{(n)}(c)/n!$ ; ils ne dépendent donc pas de $r$ .

Démonstration

Dans la formule de Cauchy (Formule de Cauchy, (ii)), on remplace $\frac{1}{w - z}$ par la série géométrique $\sum_n \frac{(z - c)^n}{(w - c)^{n+1}},$ qui converge uniformément sur le cercle ; multipliée par $f(w)$ , bornée sur le cercle, elle converge encore uniformément, et l'on intègre terme à terme (Convergence uniforme).

L'inégalité vient de (i) du nœud Intégrale curviligne : la longueur du cercle est $2\pi r$ , et $|f(w)/(w - c)^{n+1}| \leqslant M r^{-n-1}$ .

Les inégalités montrent que la suite $(c_n r^n)$ est bornée : la série entière $g(u) = \sum_n c_n u^n$ a un rayon au moins $r$ , et $f(z) = g(z - c)$ sur $D(c, r)$ . Une série entière est indéfiniment dérivable (Dérivation terme à terme), et la translation $z \mapsto z - c$ ne change pas les taux d'accroissement ; donc $f$ est indéfiniment dérivable sur $D(c, r)$ , avec $f^{(n)}(c) = g^{(n)}(0) = n!\,c_n$ . Les coefficients ne dépendent donc pas de $r$ .

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Remarque

C'est le phénomène annoncé dans l'édifice : une fonction holomorphe, supposée seulement dérivable une fois au sens complexe, est automatiquement développable en série entière, donc indéfiniment dérivable. En analyse réelle, $x \mapsto x|x|$ est dérivable une fois sans l'être deux.

Repose sur

Formule intégrale de Cauchy

Sert à

Théorème de Liouville et d'Alembert-Gauss Principe des zéros isolés