Une série entière est holomorphe

Rayons. Si $r < r' < R$, la suite $(a_n r'^n)$ est bornée, et $u_n = n^2 (r/r')^n$ tend vers $0$ : le rapport $u_{n+1}/u_n = (1 + \frac1n)^2 \frac{r}{r'}$ tend vers $r/r' < 1$, donc reste inférieur à un $\kappa < 1$ à partir d'un rang, et $u_n$ est dominée par une suite géométrique de raison $\kappa$.

Ainsi $(n^2 a_n r^n)$ est bornée : les séries $\sum n a_n z^{n-1}$ et $\sum n(n-1) a_n z^{n-2}$ ont un rayon au moins $R$, par la définition du rayon (Séries entières). Elles n'en ont pas un plus grand, puisque $|a_n z^n| \leqslant |z| \cdot |n a_n z^{n-1}|$ pour $n \geqslant 1$.

Une majoration. Pour $|z|, |z + h| \leqslant \rho$, on a $$(z + h)^k - z^k = h\sum_{j < k} (z + h)^j z^{k-1-j},$$ donc $|(z + h)^k - z^k| \leqslant k|h|\rho^{k-1}$.

En écrivant $$\begin{aligned} &(z + h)^n - z^n - nz^{n-1}h \\ &\quad = h\sum_{k < n} z^{n-1-k}\big((z + h)^k - z^k\big), \end{aligned}$$ on obtient $$\begin{aligned} &\big|(z + h)^n - z^n - nz^{n-1}h\big| \\ &\quad \leqslant \frac{n(n-1)}{2}\,|h|^2 \rho^{n-2}. \end{aligned}$$

Dérivabilité. Soit $|z| < \rho < R$ et $h$ assez petit pour que $|z + h| \leqslant \rho$. Alors $$\begin{aligned} &\Big|\frac{f(z + h) - f(z)}{h} - \sum_n n a_n z^{n-1}\Big| \\ &\quad \leqslant |h| \sum_n \frac{n(n-1)}{2}|a_n|\rho^{n-2}, \end{aligned}$$ et la dernière série converge, puisque $\rho < R$. Le membre de droite tend vers $0$ avec $h$ : $f$ est dérivable au sens complexe en $z$ (Dérivabilité complexe). La dérivée $n$-ième en $0$ s'obtient en itérant et en évaluant en $0$.