Théorème 1Analyse complexe

Séries entières et rayon de convergence

Une série entière est une série $\sum a_n z^n$ , où $(a_n)$ est une suite de complexes. Son rayon de convergence est $R = \sup\{r \geqslant 0 : (a_n r^n) \text{ est bornée}\}$ , éventuellement infini.

Énoncé

(i) Lemme d'Abel. Si $(a_n r^n)$ est bornée et $0 \leqslant \rho < r$ , la série converge absolument et uniformément sur le disque fermé $|z| \leqslant \rho$ .

(ii) La série converge absolument pour $|z| < R$ et diverge pour $|z| > R$ . Sa somme est continue sur le disque ouvert $D(0, R)$ .

Pour

|z| = \rho < R

, on choisit

r

entre

\rho

R

avec

(a_n r^n)

bornée, et le lemme d'Abel donne la convergence absolue et uniforme sur le disque fermé de rayon

\rho

, en rouge. Au-delà du cercle de rayon

R

la série diverge ; sur ce cercle, le rayon ne dit rien.

Démonstration

(ii) Si $|z| < R$ , il existe $r$ avec $|z| < r$ et $(a_n r^n)$ bornée, par définition de la borne supérieure ; (i) s'applique avec $\rho = |z|$ . Si $|z| > R$ , la suite $(a_n z^n)$ n'est pas bornée, donc ne tend pas vers $0$ , et la série diverge, puisque le terme général $S_n - S_{n-1}$ d'une série convergente tend vers $0$ .

Tout point de $D(0, R)$ est dans un disque $|z| \leqslant \rho$ avec $\rho < R$ , sur lequel la convergence est uniforme : la somme y est continue.

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Remarque

Sur le cercle $|z| = R$ , tout peut arriver : $\sum z^n$ diverge en tout point du cercle unité, tandis que $\sum z^n/(n+1)^2$ converge en tout point. Le rayon ne dit rien du bord.

Repose sur

Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes

Sert à

Une série entière est holomorphe