Proposition 1Analyse complexe

Suites, séries et parties compactes de ℂ

Une suite $(z_n)$ de nombres complexes converge vers $z$ si $|z_n - z| \to 0$ , le module jouant le rôle de la valeur absolue (Conjugué, module). La série $\sum z_n$ converge si la suite de ses sommes partielles $S_N = \sum_{n \leqslant N} z_n$ converge ; elle converge absolument si $\sum |z_n|$ converge.

Énoncé

(i) $(z_n)$ converge si et seulement si $(\operatorname{Re} z_n)$ et $(\operatorname{Im} z_n)$ convergent ; toute suite de Cauchy de ${\mathbb C}$ converge.

(ii) Une série absolument convergente converge, et $\big|\sum z_n\big| \leqslant \sum |z_n|$ .

(iii) Si $|q| < 1$ , la série géométrique $\sum q^n$ converge absolument, de somme $\frac{1}{1 - q}$ .

(iv) Toute partie fermée et bornée de $\mathbb C$ est compacte.

Démonstration

(i) Pour $w = a + ib$ , on a $|w| = \sqrt{a^2 + b^2}$ (Conjugué, module), de sorte que $|z - w|$ est la distance $d_2$ (Espaces métriques) entre les couples des parties réelles et imaginaires de $z$ et de $w$ : l'application $a + ib \mapsto (a, b)$ est une bijection de $\mathbb C$ sur ${\mathbb R^2}$ qui préserve les distances.

Les deux énoncés sont donc ceux du nœud L'espace ℝⁿ, (i) et (ii), pour $n = 2$ et la distance $d_2$ .

(ii) Pour $M < N$ , $|S_N - S_M| \leqslant \sum_{M < n \leqslant N} |z_n|$ , par l'inégalité triangulaire ; si $\sum |z_n|$ converge, la suite $(S_N)$ est de Cauchy, donc converge par (i). L'inégalité passe à la limite.

(iii) $(1 - q) \sum_{n \leqslant N} q^n = 1 - q^{N+1}$ .

Il reste à voir que $|q|^N \to 0$ . Si $q \neq 0$ , écrivons $1/|q| = 1 + h$ avec $h > 0$ ; par récurrence, $(1 + h)^N \geqslant 1 + Nh$ , donc $|q|^N \leqslant \frac{1}{1 + Nh}$ , qui tend vers $0$ par la propriété d'Archimède (Archimède, densité de ℚ).

Les sommes partielles

S_N

de la série géométrique de raison

q = 0{,}6 + 0{,}6i

, de module

|q| \approx 0{,}85

, reliées dans l'ordre, s'enroulent autour de la somme

\frac{1}{1 - q} = \frac{10 + 15i}{13}

, en rouge. L'identité

(1 - q)S_N = 1 - q^{N+1}

donne

\big|S_N - \frac{1}{1 - q}\big| = \frac{|q|^{N+1}}{|1 - q|}

: le cercle pointillé, de ce rayon pour

N = 3

, passe par

S_3

et contient toutes les sommes suivantes.

(iv) L'identification de (i) préserve les distances, donc les boules, les ouverts, les fermés, les parties bornées et les compacts. C'est alors le nœud L'espace ℝⁿ, (iii), pour $n = 2$ .

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Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire qu'une série convergente l'est absolument. La série $\sum (-1)^n/(n+1)$ converge, par le critère des séries alternées (Séries et équivalents, (vi)) ; mais $\sum 1/(n+1)$ , qui est la série de Riemann d'exposant $1$ décalée d'un rang, diverge (même nœud, (i) et (v)), ses sommes partielles $H_{N+1}$ dépassant $\ln(N + 2)$ . Toutes les séries de ce graphe seront absolument convergentes, ce qui évite cette difficulté.

Repose sur

ℂ Analyse réelle Espaces métriques et normés

Sert à

Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Dérivabilité complexe