Proposition 3Analyse complexe

Dérivabilité complexe

Soit $U$ un ouvert de ${\mathbb C}$ , muni de la distance $|z - w|$ du nœud Suites et séries complexes, et $f : U \to \mathbb C$ . Elle est dérivable au sens complexe en $z_0$ si $\frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}$ a une limite $f'(z_0)$ quand $z \to z_0$ ; elle est holomorphe sur $U$ si elle l'est en tout point.

Énoncé

(i) $f$ est dérivable en $z_0$ si et seulement si $f(z) = f(z_0) + (z - z_0)\big(\ell + \varepsilon(z)\big)$ avec $\varepsilon(z) \to 0$ , et alors $\ell = f'(z_0)$ ; $f$ est alors continue en $z_0$ .

(ii) Sommes, produits, quotients à dénominateur non nul et composées de fonctions holomorphes sont holomorphes, avec les formules usuelles. Les polynômes sont holomorphes sur $\mathbb C$ .

(iii) Si $f$ est holomorphe sur $U$ et $\gamma : [a, b] \to U$ dérivable, alors $(f \circ \gamma)'(t) = f'(\gamma(t))\,\gamma'(t)$ .

Démonstration

(i) C'est la définition, en posant $\varepsilon(z) = \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} - \ell$ ; la continuité vient de ce que $(z - z_0)(\ell + \varepsilon(z)) \to 0$ .

(ii) Pour un produit, $\begin{aligned} fg(z) - fg(z_0) &= (f(z) - f(z_0))g(z) \\ &\quad + f(z_0)(g(z) - g(z_0)) ; \end{aligned}$ on divise par $z - z_0$ et l'on utilise la continuité de $g$ .

Pour une composée $g \circ f$ , l'écriture (i) appliquée à $g$ en $f(z_0)$ donne $g(f(z)) - g(f(z_0)) = (f(z) - f(z_0))\big(g'(f(z_0)) + \eta(f(z))\big)$ , avec $\eta(w) \to 0$ quand $w \to f(z_0)$ et $\eta(f(z_0)) = 0$ , de sorte que l'égalité vaut aussi aux points où $f(z) = f(z_0)$ . Par continuité de $f$ en $z_0$ , $\eta(f(z)) \to 0$ ; on divise par $z - z_0$ .

Le quotient s'obtient par $1/g$ , composée de $g$ et de $w \mapsto 1/w$ , dont la dérivée se calcule directement : pour $w \neq w_0$ , tous deux non nuls, $\frac{1/w - 1/w_0}{w - w_0} = -\frac{1}{w w_0},$ qui tend vers $-\frac{1}{w_0^2}$ quand $w \to w_0$ . Les polynômes s'obtiennent par sommes et produits à partir de $z \mapsto z$ .

(iii) C'est le calcul de la composée, la variable réelle $t$ remplaçant $z$ .

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Remarque

La condition est bien plus forte que la dérivabilité des parties réelle et imaginaire : la limite doit être la même dans toutes les directions. La conjugaison $z \mapsto \bar z$ n'est holomorphe nulle part, puisque son taux d'accroissement vaut $1$ le long de l'axe réel et $-1$ le long de l'axe imaginaire.

Repose sur

Suites, séries et parties compactes de ℂ

Sert à

Une série entière est holomorphe