Séries à termes positifs, équivalents et constante d'Euler

(i) Si $S_N \to S$, alors $u_N = S_N - S_{N-1} \to S - S = 0$ (Opérations sur les limites). Les sommes partielles de $\sum_n u_{N_0 + n}$ sont les $S_{N_0 + N} - S_{N_0 - 1}$ (avec $S_{-1} = 0$) : elles convergent si et seulement si $(S_N)$ converge.

(ii) La suite $(S_N)$ est croissante, puisque $S_{N+1} - S_N = u_{N+1} \geqslant 0$ ; le théorème de la limite monotone (Limite monotone) conclut, une suite convergente étant bornée (Unicité, bornitude).

(iii) Il existe $C \geqslant 0$ et un rang $N_0$ tels que, pour $n \geqslant N_0$, $u_n \geqslant 0$, $v_n \geqslant 0$ et $u_n \leqslant C v_n$. Par (i), on peut supposer $N_0 = 0$. Si $\sum v_n$ converge, ses sommes partielles sont majorées par (ii), disons par $M$, et celles de $\sum u_n$ par $CM$ : $\sum u_n$ converge par (ii). La seconde affirmation est la contraposée de la première.

(iv) Par le point (v) du nœud Règles de calcul, $\frac12 v_n \leqslant u_n \leqslant \frac32 v_n$ à partir d'un certain rang ; en particulier $u_n \geqslant 0$. Ainsi $u_n = O(v_n)$ et $v_n = O(u_n)$, et (iii), appliqué dans les deux sens, conclut.

(v) Cas $\alpha \leqslant 0$. Alors $1/n^\alpha = n^{-\alpha} \geqslant 1$ pour $n \geqslant 1$ (Puissances réelles, (iv)), le terme général ne tend pas vers $0$, et la série diverge par (i).

Cas $0 < \alpha \leqslant 1$. Pour $n \geqslant 1$, $n^{\alpha - 1} \leqslant 1$, donc $1/n^\alpha \geqslant 1/n$. L'inégalité $\ln x \leqslant x - 1$ (Croissances comparées, (i)), en $x = 1 + 1/n$, donne $\ln(n + 1) - \ln n \leqslant 1/n$ ; en sommant de $1$ à $N$, $H_N \geqslant \ln(N + 1)$. Comme $\ln$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ (Logarithme, (iii)), les sommes partielles $H_N$ ne sont pas majorées, $\sum 1/n$ diverge, et $\sum 1/n^\alpha$ aussi par (iii).

Cas $\alpha > 1$. La fonction $\phi(t) = t^{1-\alpha}$ est dérivable sur $]0, +\infty[$, de dérivée $(1 - \alpha)t^{-\alpha}$ (Puissances réelles, (iii)). Pour $n \geqslant 2$, l'égalité des accroissements finis (Égalité des accroissements finis) fournit $c \in \,]n - 1, n[$ tel que $$\phi(n - 1) - \phi(n) = (\alpha - 1)\,c^{-\alpha} > (\alpha - 1)\,n^{-\alpha},$$ la fonction $t \mapsto t^{-\alpha}$ étant strictement décroissante. En sommant de $2$ à $N$, la somme télescopique donne $$\sum_{n=2}^N \frac1{n^\alpha} < \frac{1 - N^{1-\alpha}}{\alpha - 1} < \frac1{\alpha - 1}.$$ Les sommes partielles sont majorées par $1 + \frac1{\alpha - 1} = \frac{\alpha}{\alpha - 1}$, et la série converge par (ii), de somme au plus $\frac\alpha{\alpha - 1}$ par passage à la limite (Passage à la limite).

(vi) Posons $p_N = S_{2N}$ et $q_N = S_{2N+1}$. Alors $p_{N+1} - p_N = -a_{2N+1} + a_{2N+2} \leqslant 0$, $q_{N+1} - q_N = a_{2N+2} - a_{2N+3} \geqslant 0$, et $p_N - q_N = a_{2N+1} \to 0$ : les suites $(p_N)$ et $(q_N)$ sont adjacentes. Elles convergent vers une même limite $S$, avec $q_N \leqslant S \leqslant p_N$ (Suites adjacentes), et $S_N \to S$ (Suites extraites, (ii)). Comme $(q_N)$ croît et $(p_N)$ décroît, $S$ est compris entre $S_{2N}$ et $S_{2N+1}$, et entre $S_{2N+1}$ et $S_{2N+2}$ : pour tout $N$, $S$ est entre $S_N$ et $S_{N+1}$, donc $|S - S_N| \leqslant |S_{N+1} - S_N| = a_{N+1}$.

(vii) Pour $n \geqslant 1$, posons $w_n = \frac1n - \ln\big(1 + \frac1n\big)$, positif par Croissances comparées, (i). Par le DL $\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}2 + o(x^2)$ (Développements usuels, (iii)), on a $x - \ln(1 + x) \sim \frac{x^2}2$ quand $x \to 0$ (Développement limité, (v)), et la substitution $x = 1/n$ (Règles de calcul, (vii)) donne $w_n \sim \frac1{2n^2}$. Par (iv) et (v), avec $\alpha = 2$, la série $\sum w_n$ converge. Or, par Logarithme, (ii), $$\sum_{n=1}^N w_n = H_N - \sum_{n=1}^N \big(\ln(n + 1) - \ln n\big) = H_N - \ln(N + 1).$$ Donc $H_N - \ln(N + 1)$ converge vers $\gamma = \sum_{n \geqslant 1} w_n$, et $H_N - \ln N = \big(H_N - \ln(N + 1)\big) + \ln\big(1 + \frac1N\big)$ aussi, le dernier terme tendant vers $\ln 1 = 0$ par continuité de $\ln$. Comme les $w_n$ sont strictement positifs, par le cas d'égalité de Croissances comparées, (i), on a $\gamma > w_1 = 1 - \ln 2$. D'autre part, $(H_n - \ln n)$ est décroissante : sa différence entre les rangs $n + 1$ et $n$ vaut $\frac1{n+1} + \ln\big(1 - \frac1{n+1}\big) \leqslant 0$, toujours par $\ln x \leqslant x - 1$ ; donc $\gamma \leqslant H_1 - \ln 1 = 1$. Enfin $H_n - \ln n = O(1)$, et $1 = o(\ln n)$ puisque $\ln n \to +\infty$ : $H_n - \ln n = o(\ln n)$, c'est-à-dire $H_n \sim \ln n$.