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Proposition 2Théorie analytique des nombres

Sommation d'Abel et intégrales impropres

Une fonction h:[a,b]→ℂh : [a, b] \to {\mathbb C} est continue par morceaux s'il existe une subdivision telle que, sur chaque intervalle ouvert, hh se prolonge en une fonction continue sur l'intervalle fermé. Ses parties réelle et imaginaire sont intégrables au sens de Riemann, comme le montre la remarque du nœud Fonctions continues ; l'intégrale de hh est celle de sa partie réelle plus ii fois celle de sa partie imaginaire.

Pour hh continue par morceaux sur tout segment de [a,+∞[[a, +\infty[, l'intégrale ∫a+∞h\int_a^{+\infty} h converge si ∫aTh\int_a^T h a une limite quand T→+∞T \to +\infty.

Énoncé

(i) Pour hh continue par morceaux, ∣∫abh∣⩽∫ab∣h∣\big|\int_a^b h\big| \leqslant \int_a^b |h|. Si ∣h∣⩽g|h| \leqslant g sur [a,+∞[[a, +\infty[ et si ∫a+∞g\int_a^{+\infty} g converge, alors ∫a+∞h\int_a^{+\infty} h converge, et ∫a+∞h\int_a^{+\infty} h converge si et seulement si ∫xyh→0\int_x^{y} h \to 0 quand x,y→+∞x, y \to +\infty.

(ii) Changement de variable. Si φ:[α,β]→[a,b]\varphi : [\alpha, \beta] \to [a, b] est de classe C1C^1 et croissante, et hh continue par morceaux, ∫φ(α)φ(β)h=∫αβh(φ(u))φ′(u) du\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} h = \int_\alpha^\beta h(\varphi(u))\varphi'(u)\,du.

(iii) Sommation d'Abel. Soit (an)n⩾1(a_n)_{n \geqslant 1} une suite complexe, A(x)=∑1⩽n⩽xanA(x) = \sum_{1 \leqslant n \leqslant x} a_n, et φ\varphi de classe C1C^1 sur [1,x][1, x]. Alors ∑1⩽n⩽xanφ(n)=A(x)φ(x)−∫1xA(t)φ′(t) dt.\begin{aligned} \sum_{1 \leqslant n \leqslant x} a_n \varphi(n) &= A(x)\varphi(x) \\ &\quad - \int_1^x A(t)\varphi'(t)\,dt. \end{aligned}

(iv) Comparaison série-intégrale. Si φ\varphi est positive et décroissante sur [1,+∞[[1, +\infty[, ∑n=2Nφ(n)⩽∫1Nφ⩽∑n=1N−1φ(n)\sum_{n=2}^N \varphi(n) \leqslant \int_1^N \varphi \leqslant \sum_{n=1}^{N-1} \varphi(n).

Démonstration

(i) Pour hh continue, c'est le nœud Intégrale curviligne, (i) ; pour hh continue par morceaux, on applique ce résultat sur chaque morceau, les valeurs aux points de la subdivision ne modifiant pas les intégrales.

Le critère de Cauchy est nécessaire, puisque ∫xyh=∫ayh−∫axh\int_x^y h = \int_a^y h - \int_a^x h. Il est suffisant par la complétude de ℂ\mathbb C (Suites et séries complexes), appliquée à la suite ∫anh\int_a^n h : sa limite ℓ\ell est celle de ∫aTh\int_a^T h quand T→+∞T \to +\infty, puisque, pour T⩾nT \geqslant n, ∣∫aTh−ℓ∣⩽∣∫nTh∣+∣∫anh−ℓ∣.\Big|\int_a^T h - \ell\Big| \leqslant \Big|\int_n^T h\Big| + \Big|\int_a^n h - \ell\Big|. La comparaison s'en déduit, puisque ∣∫xyh∣⩽∫xyg\big|\int_x^y h\big| \leqslant \int_x^y g.

(ii) Sur un morceau où hh est continue, les deux membres, vus comme fonctions de β\beta, ont la même dérivée h(φ(β))φ′(β)h(\varphi(\beta))\varphi'(\beta) par le théorème fondamental (Théorème fondamental) et la dérivation d'une composée, et sont nuls en α\alpha. On recolle les morceaux par la relation de Chasles.

(iii) Soit N=⌊x⌋N = \lfloor x \rfloor. La fonction AA est constante, égale à A(n)A(n), sur chaque [n,n+1[[n, n + 1[, donc ∫1xAφ′=∑n=1N−1A(n)(φ(n+1)−φ(n))+A(N)(φ(x)−φ(N)),\begin{aligned} \int_1^x A\varphi' = &\sum_{n=1}^{N-1} A(n)\big(\varphi(n + 1) - \varphi(n)\big) \\ &+ A(N)\big(\varphi(x) - \varphi(N)\big), \end{aligned} par Convergence uniforme, (iv).

En regroupant les termes en φ(n)\varphi(n), le coefficient de φ(n)\varphi(n) est A(n−1)−A(n)=−anA(n - 1) - A(n) = -a_n pour 2⩽n⩽N2 \leqslant n \leqslant N, celui de φ(1)\varphi(1) est −A(1)=−a1-A(1) = -a_1, et il reste A(N)φ(x)=A(x)φ(x)A(N)\varphi(x) = A(x)\varphi(x).

(iv) Sur [n,n+1][n, n + 1], φ(n+1)⩽φ⩽φ(n)\varphi(n + 1) \leqslant \varphi \leqslant \varphi(n) ; on intègre et l'on somme.

□
Remarque

La sommation d'Abel est l'analogue discret de l'intégration par parties : elle transforme une somme pondérée en une intégrale de la fonction sommatoire AA.

t A 2 3 5 7 11 1 2 3 5 7 11 x 1 2 3 4 5 ∫1x Aφ′ = 32 A(x)φ(x) = 60 = 28 + 32
Pour an=1a_n = 1 si nn est premier et an=0a_n = 0 sinon, φ(t)=t\varphi(t) = t et x=12x = 12, le rectangle de côtés φ(x)=12\varphi(x) = 12 et A(x)=5A(x) = 5 se partage en deux régions. Les bandes rouges, de hauteur ap=1a_p = 1 et de longueur φ(p)\varphi(p), ont pour aire totale ∑n⩽12anφ(n)=2+3+5+7+11=28\sum_{n \leqslant 12} a_n \varphi(n) = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28 ; la région bleue, sous l'escalier de AA, a pour aire ∫112A(t)φ′(t) dt=32\int_1^{12} A(t)\varphi'(t)\,dt = 32 ; l'égalité 60=28+3260 = 28 + 32 est exactement la formule (iii).

C'est ainsi que l'on passe des nombres premiers, comptés par une fonction en escalier, aux fonctions analytiques.

Repose sur

Analyse complexe

Sert à

La fonction zêta de Riemann et son prolongementLa fonction Φ et la dérivée logarithmique de ζLe théorème taubérien de Newman
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